Use série de potências para calcular as seguintes integrais. Verifique se as séries resultantes satisfazem o Critério de Leibniz e então estime o valor das integrais com erro inferior à 
 .
b) 
 
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral 
  usando séries de potências. O conteúdo aqui envolve séries infinitas e integração de séries termo a termo. Para isso, vamos precisar expandir a função 
  em uma série de potências, integrar cada termo dessa série e verificar se a série resultante converge pelo Critério de Leibniz. Depois, vamos estimar o valor da integral com um erro menor que 
 .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a expansão em série de potências da função 
 . A série de Maclaurin para 
  é:
Essa série é válida para 
 .
Passo 3
Agora, queremos a série para 
 . Substituindo 
  por 
  na série acima, temos:
Passo 4
Vamos integrar a série termo a termo no intervalo de 0 a 1/2:
Integrando 
 :
Aplicando os limites de integração:
Portanto, a integral se torna:
Passo 5
Agora, precisamos verificar se essa série satisfaz o Critério de Leibniz para séries alternadas, que diz que se os termos em módulo forem decrescentes e tenderem a zero, a série converge.
Observando os termos:
Claramente, 
 , 
  diminui conforme 
  aumenta, e 
 . Portanto, a série satisfaz o Critério de Leibniz e converge.
Passo 6
Para estimar o valor da integral com erro inferior a 
 , precisamos somar os termos da série até que o próximo termo da série seja menor que 
 .
Vamos calcular os primeiros termos:
Para 
 :
Para 
 :
Observamos que o segundo termo já é menor que 
 . Portanto, podemos parar na soma do primeiro termo para garantir que o erro seja menor que 
 .
Resposta
A estimativa do valor da integral 
  com erro inferior a 
  é aproximadamente 
 .