Calcule o volume do sólido 
 , no primeiro octante, limitado pelo cilindro parabólico 
  e pelos planos 
  e 
 .
Passo 1
Beleza, vamos calcular o volume do sólido 
  no primeiro octante. O sólido é limitado pelo cilindro parabólico 
  e pelos planos 
 , 
 , 
  e 
 . Para isso, vamos usar integrais múltiplas, especificamente uma integral tripla, para encontrar o volume.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender os limites de integração. No primeiro octante, as coordenadas 
 , 
  e 
  são todas maiores ou iguais a zero. O plano 
  nos mostra que 
 . Assim, 
  varia de 0 a 2, e para cada valor de 
 , 
  varia de 0 a 
 .
Passo 3
Agora, para cada ponto 
 , o valor de 
  varia de 0 até 
 . Portanto, os limites de 
  são de 0 a 
 .
Passo 4
Com os limites definidos, podemos escrever a integral tripla para o volume 
 :
Passo 5
Vamos resolver a integral mais interna, em relação a 
 :
Assim, a integral fica:
Passo 6
Agora, integramos em relação a 
 :
Então, a integral simplifica para:
Passo 7
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Portanto, a integral é:
Passo 8
Agora, integramos termo a termo:
Passo 9
Avaliamo as integrais entre os limites de 0 a 2:
Substituindo 
 :
Convertendo para denominadores comuns:
Resposta
O volume do sólido 
  é 
  unidades cúbicas.