Use a solução geral de x^{\prime \prime}+\omega^{2} x=0 dada no Problema 7 para mostrar que uma solução satisfazendo as condições x\left(t_{0}\right)=x_{0} e x^{\prime}\left(t_{0}\right)=x_{1} é a solução dada no Problema 7 , deslocada por t_{0} unidades:
Dado que x(t)=c_{1} \cos \omega t+c_{2} \operatorname{sen} \omega t é a solução geral de x^{\prime \prime}+\omega^{2} x=0 no intervalo ( -\infty, \infty ), mostre que uma solução que satisfaça as condições iniciais x(0)=x_{0} e x^{\prime}(0)=x_{1} é dada por
x(t)=x_{0} \cos \omega t+\frac{x_{1}}{\omega} \operatorname{sen} \omega t .

Passo 1

O enunciado pede para usar a solução geral da EDO
x''+\omega^2 x=0
que é
x(t)=c_{1}\cos\omega t+c_{2}\sin\omega t
e encontrar, primeiro, a solução particular que satisfaz
x(0)=x_{0},\quad x'(0)=x_{1}
depois estender esse resultado para condições em t_{0}, ou seja, achar a solução que satisfaça
x(t_{0})=x_{0},\quad x'(t_{0})=x_{1}.

Passo 2

Impondo as condições em t=0, temos
x(0)=c_{1}\cos0+c_{2}\sin0=c_{1}=x_{0},
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c_{1}=x_{0}.
Agora calculamos a derivada
x'(t)=-c_{1}\,\omega\sin\omega t+c_{2}\,\omega\cos\omega t
e em t=0
x'(0)= -x_{0}\,\omega\cdot0 +c_{2}\,\omega\cdot1 =c_{2}\,\omega =x_{1},
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c_{2}=\frac{x_{1}}{\omega}.
Substituindo em x(t), obtemos a solução com condições em 0:
x(t)=x_{0}\cos\omega t+\frac{x_{1}}{\omega}\sin\omega t.

Passo 3

Para transferir isso a condições iniciais em t_{0}, definimos a função deslocada
y(s)=x(s+t_{0}).
Então
y(0)=x(t_{0})=x_{0},\quad y'(0)=x'(t_{0})=x_{1},
e pelo resultado do Passo 2
y(s)=x_{0}\cos\omega s+\frac{x_{1}}{\omega}\sin\omega s.
Voltando à variável original t=s+t_{0}, temos s=t-t_{0} e, portanto,
x(t)=y(t-t_{0}) =x_{0}\cos\bigl[\omega(t-t_{0})\bigr] +\frac{x_{1}}{\omega}\sin\bigl[\omega(t-t_{0})\bigr].

Resposta

x(t)=x_{0}\cos\bigl[\omega(t-t_{0})\bigr] +\frac{x_{1}}{\omega}\sin\bigl[\omega(t-t_{0})\bigr].

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