Use fatoração para simplificar as expressões
\frac{(x-2)\left(x^{3}+8\right)}{\left(x^{3}-8\right)\left(x^{2}+2 x+4\right)}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar por fatoração a expressão
\frac{(x-2)\bigl(x^{3}+8\bigr)}{\bigl(x^{3}-8\bigr)\bigl(x^{2}+2x+4\bigr)}.
Vamos usar as fórmulas de soma e diferença de cubos para fatorar x^3+8 e x^3-8.

Passo 2

A identidade de soma de cubos é
a^{3}+b^{3}=(a+b)\bigl(a^{2}-ab+b^{2}\bigr).
Tomando a=x e b=2, obtemos
x^{3}+8=(x+2)\bigl(x^{2}-2x+4\bigr).

Passo 3

A identidade de diferença de cubos é
a^{3}-b^{3}=(a-b)\bigl(a^{2}+ab+b^{2}\bigr).
Usando a=x e b=2, vem
x^{3}-8=(x-2)\bigl(x^{2}+2x+4\bigr).

Passo 4

Substituindo essas fatorações na expressão original, temos
\frac{(x-2)\,\bigl[(x+2)(x^{2}-2x+4)\bigr]}{\bigl[(x-2)(x^{2}+2x+4)\bigr]\,(x^{2}+2x+4)} =\frac{(x-2)(x+2)(x^{2}-2x+4)}{(x-2)(x^{2}+2x+4)^{2}}.
Agora cancelamos o fator comum (x-2):
\frac{(x+2)(x^{2}-2x+4)}{(x^{2}+2x+4)^{2}}.

Resposta

\frac{(x+2)\bigl(x^{2}-2x+4\bigr)}{\bigl(x^{2}+2x+4\bigr)^{2}}.

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