Use fatoração para simplificar as expressões
\left(\frac{x^{4}-16}{x^{2}-4 x+4}\right)\left(\frac{x^{2}+3 x}{x^{3}+5 x^{2}+6 x}\right)

Passo 1

Temos a expressão
\left(\frac{x^{4}-16}{x^{2}-4x+4}\right)\!\left(\frac{x^{2}+3x}{x^{3}+5x^{2}+6x}\right).
O conteúdo principal aqui é fatoração de polinômios (diferença de quadrados, quadrado perfeito, fator comum) e depois cancelamento de fatores comuns entre numerador e denominador.

Passo 2

Fatoramos o numerador e o denominador da primeira fração.
O numerador é diferença de quadrados:
x^{4}-16 = (x^{2})^{2} - 4^{2} = (x^{2}-4)(x^{2}+4) = (x-2)(x+2)(x^{2}+4).
O denominador é um quadrado perfeito:
x^{2} - 4x + 4 = (x-2)^{2}.

Passo 3

Fatoramos o numerador e o denominador da segunda fração.
No numerador há fator comum x:
x^{2} + 3x = x(x+3).
No denominador tiramos fator x e depois fatoramos o trinômio:
x^{3} +5x^{2} +6x = x\,(x^{2} +5x +6) = x\,(x+2)(x+3).

Passo 4

Escrevemos o produto das duas frações já totalmente fatorado:
\frac{(x-2)(x+2)(x^{2}+4)}{(x-2)^{2}} \;\times\; \frac{x(x+3)}{x\,(x+2)(x+3)}.

Passo 5

Cancelamos todos os fatores comuns em numerador e denominador, lembrando que ao cancelar não podemos ter x=0, x=2, x=-2 ou x=-3:
  • O fator x cancela.
  • O fator (x+3) cancela.
  • O fator (x+2) cancela.
  • Um dos dois fatores (x-2) no denominador cancela com o do numerador, sobrando um só (x-2) embaixo.
Fica então
\frac{x^{2}+4}{x-2}.

Resposta

\frac{x^{2}+4}{x-2}.
Com as restrições de domínio x\neq 0,\,2,\,-2,\,-3.

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