Use uma forma apropriada da regra da cadeia para determinar
.
Passo 1
O enunciado dá uma função
em termos de três variáveis e também diz como cada uma dessas variáveis depende de
. O que se pede é calcular a derivada total
.
Informações fornecidas:
-
. -
. -
. -
.
Pedido: determinar
.
Passo 2
Para funções de várias variáveis compostas por funções de uma única variável, usamos a regra da cadeia na forma multivariada. A fórmula é:
Explicando cada símbolo:
-
é a derivada parcial de em relação a , ou seja, trate e como constantes e derive em relação a . -
é a derivada de em relação a . - Os outros termos são análogos para
e .
A ideia é somar as contribuições das variações desobre quando varia.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Usamos a regra do poder (se
então
) e a linearidade.
- Para
: trate e como constantes, então
- Para
: trate e como constantes, então
- Para
: trate e como constantes, então
Passo 4
Calcular as derivadas de
em relação a
(são funções simples potência de
).
Passo 5
Agora montamos a soma da regra da cadeia substituindo as derivadas parciais e as derivadas das componentes:
Passo 6
Substituímos
,
e
em cada termo e simplificamos passo a passo.
Primeiro termo:
Calcule as potências:
Somando expoentes:
Segundo termo:
Calcule as potências:
Somando expoentes:
Terceiro termo:
Calcule as potências:
Somando expoentes:
Agora somamos os três termos (têm todos a mesma potência
):
Passo 7
Verificação rápida (método alternativo): compor primeiro
como função de
:
Derivando em relação a
:
mesma resposta — checagem OK.