Use uma forma apropriada da regra da cadeia para determinar d w / d t.
w=5 x^{2} y^{3} z^{4} ; x=t^{2}, y=t^{3}, z=t^{5}

Passo 1

O enunciado dá uma função w em termos de três variáveis e também diz como cada uma dessas variáveis depende de t. O que se pede é calcular a derivada total \dfrac{d w}{d t}.
Informações fornecidas:
  • w = 5 x^{2} y^{3} z^{4}.
  • x = t^{2}.
  • y = t^{3}.
  • z = t^{5}.
Pedido: determinar \dfrac{d w}{d t}.

Passo 2

Para funções de várias variáveis compostas por funções de uma única variável, usamos a regra da cadeia na forma multivariada. A fórmula é:
\frac{d w}{d t}=\frac{\partial w}{\partial x}\,\frac{d x}{d t}+\frac{\partial w}{\partial y}\,\frac{d y}{d t}+\frac{\partial w}{\partial z}\,\frac{d z}{d t}.
Explicando cada símbolo:
  • \dfrac{\partial w}{\partial x} é a derivada parcial de w em relação a x, ou seja, trate y e z como constantes e derive em relação a x.
  • \dfrac{d x}{d t} é a derivada de x em relação a t.
  • Os outros termos são análogos para y e z.
    A ideia é somar as contribuições das variações de x,y,z sobre w quando t varia.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de w. Usamos a regra do poder (se u(x)=x^{n} então u'(x)=n x^{n-1}) e a linearidade.
  • Para \dfrac{\partial w}{\partial x}: trate y e z como constantes, então
\frac{\partial w}{\partial x}=5\cdot 2 x^{1} y^{3} z^{4}=10 x y^{3} z^{4}.
  • Para \dfrac{\partial w}{\partial y}: trate x e z como constantes, então
\frac{\partial w}{\partial y}=5\cdot x^{2}\cdot 3 y^{2} z^{4}=15 x^{2} y^{2} z^{4}.
  • Para \dfrac{\partial w}{\partial z}: trate x e y como constantes, então
\frac{\partial w}{\partial z}=5\cdot x^{2} y^{3}\cdot 4 z^{3}=20 x^{2} y^{3} z^{3}.

Passo 4

Calcular as derivadas de x,y,z em relação a t (são funções simples potência de t).
  • \dfrac{d x}{d t}=\dfrac{d}{dt}(t^{2})=2t.
  • \dfrac{d y}{d t}=\dfrac{d}{dt}(t^{3})=3t^{2}.
  • \dfrac{d z}{d t}=\dfrac{d}{dt}(t^{5})=5t^{4}.

Passo 5

Agora montamos a soma da regra da cadeia substituindo as derivadas parciais e as derivadas das componentes:
\frac{d w}{d t}=(10 x y^{3} z^{4})(2t)+(15 x^{2} y^{2} z^{4})(3t^{2})+(20 x^{2} y^{3} z^{3})(5t^{4}).

Passo 6

Substituímos x=t^{2}, y=t^{3} e z=t^{5} em cada termo e simplificamos passo a passo.
Primeiro termo:
(10 x y^{3} z^{4})(2t)=20t\cdot x\cdot y^{3}\cdot z^{4} =20t\cdot (t^{2})\cdot (t^{3})^{3}\cdot (t^{5})^{4}.
Calcule as potências:
(t^{3})^{3}=t^{9},\qquad (t^{5})^{4}=t^{20}.
Somando expoentes:
20t\cdot t^{2}\cdot t^{9}\cdot t^{20}=20\, t^{1+2+9+20}=20\, t^{32}.
Segundo termo:
(15 x^{2} y^{2} z^{4})(3t^{2})=45t^{2}\cdot x^{2}\cdot y^{2}\cdot z^{4} =45t^{2}\cdot (t^{2})^{2}\cdot (t^{3})^{2}\cdot (t^{5})^{4}.
Calcule as potências:
(t^{2})^{2}=t^{4},\qquad (t^{3})^{2}=t^{6},\qquad (t^{5})^{4}=t^{20}.
Somando expoentes:
45t^{2}\cdot t^{4}\cdot t^{6}\cdot t^{20}=45\, t^{2+4+6+20}=45\, t^{32}.
Terceiro termo:
(20 x^{2} y^{3} z^{3})(5t^{4})=100 t^{4}\cdot x^{2}\cdot y^{3}\cdot z^{3} =100 t^{4}\cdot (t^{2})^{2}\cdot (t^{3})^{3}\cdot (t^{5})^{3}.
Calcule as potências:
(t^{2})^{2}=t^{4},\qquad (t^{3})^{3}=t^{9},\qquad (t^{5})^{3}=t^{15}.
Somando expoentes:
100 t^{4}\cdot t^{4}\cdot t^{9}\cdot t^{15}=100\, t^{4+4+9+15}=100\, t^{32}.
Agora somamos os três termos (têm todos a mesma potência t^{32}):
\frac{d w}{d t}=20\, t^{32}+45\, t^{32}+100\, t^{32}=(20+45+100)\, t^{32}=165\, t^{32}.

Passo 7

Verificação rápida (método alternativo): compor primeiro w como função de t:
w(t)=5 (t^{2})^{2}(t^{3})^{3}(t^{5})^{4}=5 t^{4} t^{9} t^{20}=5 t^{33}.
Derivando em relação a t:
\frac{d w}{d t}=\frac{d}{dt}(5 t^{33})=5\cdot 33\, t^{32}=165\, t^{32},
mesma resposta — checagem OK.

Resposta

165\, t^{32}

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