QUESTAO 04
Considere as funções f(x)=2^{x+k}, em que k é um número real, e \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{x}+3. Sabendo que o ponto \mathrm{P}(1,4) pertence às duas funções, o valor de f(-2)-g(-k) é
(A) -1,5.
(B) -1,0.
(C) 0 .
(D) 1,0 .
(E) 1,5 .

Passo 1

O enunciado dá duas funções e um ponto comum:
  • f(x)=2^{x+k}, onde k é um número real (valor desconhecido).
  • g(x)=x+3.
  • O ponto P(1,4) pertence às duas funções (ou seja, ambos os gráficos passam por x=1,y=4).
    O que o problema pede: calcular o valor de f(-2)-g(-k) usando as informações acima.

Passo 2

Usar a informação de que P(1,4) pertence a g. Avaliar g(1):
g(1)=1+3=4.
Isto confirma que o ponto pertence a g (era esperado pelo enunciado). Agora vamos usar a mesma informação para encontrar k a partir de f.

Passo 3

Impor que P(1,4) pertence a f, ou seja, f(1)=4. Escrever a equação:
f(1)=2^{1+k}=4.
Explicação rápida da propriedade usada: quando temos potências com a mesma base positiva (aqui base 2) e 2^{a}=2^{b}, então necessariamente a=b. Além disso, reconhecer que 4=2^{2}. Portanto igualamos os expoentes:
1+k=2.
Resolver para k:
k=2-1=1.

Passo 4

Com k=1, calcular f(-2). Substituir na expressão de f:
f(-2)=2^{-2+k}=2^{-2+1}=2^{-1}.
Explicação da regra de potências: 2^{-1}=\dfrac{1}{2}. Em forma decimal isto é \dfrac{1}{2}=0,5. Portanto
f(-2)=\dfrac{1}{2}.

Passo 5

Calcular g(-k). Como k=1, temos -k=-1. Então
g(-k)=g(-1)=-1+3=2.

Passo 6

Agora fazemos a subtração pedida:
f(-2)-g(-k)=\dfrac{1}{2}-2=\dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{2}=\dfrac{1-4}{2}=\dfrac{-3}{2}=-1,5.
Comparando com as alternativas da questão, isto corresponde à alternativa (A).

Resposta

(A) -1,5

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