Use uma forma apropriada da regra da cadeia para determinar
.
Passo 1
O enunciado dá uma função
em termos de
e cada uma dessas variáveis como função de
. Especificamente:
-
. -
. -
. -
.
O que se pede: determinar
.
Passo 2
Ideia geral (regra da cadeia em várias variáveis): quando
e
dependem de
, a derivada total de
em relação a
é
Explicando devagar:
significa a taxa de variação de
quando só
muda (mantendo
fixos). Depois multiplicamos por
, a taxa com que
muda com
. Fazemos o mesmo para
e
e somamos — é a regra da cadeia multivariável.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Como
com
, pela regra da cadeia para logaritmo:
Agora
,
e
. Portanto:
Passo 4
Calcular
a partir das funções dadas:
-
então, usando a regra da potência, . -
então . -
então .
(Lembrete: a derivada de
é
.)
Passo 5
Substituir as parciais e as derivadas na fórmula da regra da cadeia:
Passo 6
Simplificar cada termo antes de substituir
por suas expressões em
:
- Primeiro termo:
. - Segundo termo:
. - Terceiro termo:
.
Passo 7
Agora usar
para simplificar ainda mais:
-
. Então o primeiro termo vira . -
. Então o terceiro termo vira . - No segundo termo já temos somente potências de
: .
Além disso podemos escrever o denominador em função de
:
pois
,
e
.
Passo 8
Juntando tudo, obtemos uma expressão única para
em termos de
:
Podemos multiplicar numerador e denominador por
para eliminar o coeficiente fracionário no numerador, se desejar:
Resposta
\frac{9-4t{-1/3}-72t{-7}}{9t-6t{2/3}+12t{-6}}