Use uma forma apropriada da regra da cadeia para determinar d w / d t.
w=\ln \left(3 x^{2}-2 y+4 z^{3}\right) ; x=t^{1 / 2}, y=t^{2 / 3}, z=t^{-2}

Passo 1

O enunciado dá uma função w em termos de x,y,z e cada uma dessas variáveis como função de t. Especificamente:
  • w=\ln\!\bigl(3x^{2}-2y+4z^{3}\bigr).
  • x=t^{1/2}.
  • y=t^{2/3}.
  • z=t^{-2}.
O que se pede: determinar \dfrac{dw}{dt}.

Passo 2

Ideia geral (regra da cadeia em várias variáveis): quando w=w(x,y,z) e x,y,z dependem de t, a derivada total de w em relação a t é
\frac{dw}{dt}=\frac{\partial w}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial w}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}+\frac{\partial w}{\partial z}\,\frac{dz}{dt}.
Explicando devagar: \partial w/\partial x significa a taxa de variação de w quando só x muda (mantendo y,z fixos). Depois multiplicamos por dx/dt, a taxa com que x muda com t. Fazemos o mesmo para y e z e somamos — é a regra da cadeia multivariável.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de w. Como w=\ln(U) com U=3x^{2}-2y+4z^{3}, pela regra da cadeia para logaritmo:
\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{1}{U}\cdot\frac{\partial U}{\partial x}, \qquad \frac{\partial w}{\partial y}=\frac{1}{U}\cdot\frac{\partial U}{\partial y}, \qquad \frac{\partial w}{\partial z}=\frac{1}{U}\cdot\frac{\partial U}{\partial z}.
Agora \partial U/\partial x=6x, \partial U/\partial y=-2 e \partial U/\partial z=12z^{2}. Portanto:
\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{6x}{3x^{2}-2y+4z^{3}}, \qquad \frac{\partial w}{\partial y}=\frac{-2}{3x^{2}-2y+4z^{3}}, \qquad \frac{\partial w}{\partial z}=\frac{12z^{2}}{3x^{2}-2y+4z^{3}}.

Passo 4

Calcular dx/dt,\;dy/dt,\;dz/dt a partir das funções dadas:
  • x=t^{1/2} então, usando a regra da potência, \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{1}{2}t^{-1/2}.
  • y=t^{2/3} então \dfrac{dy}{dt}=\dfrac{2}{3}t^{-1/3}.
  • z=t^{-2} então \dfrac{dz}{dt}=-2t^{-3}.
(Lembrete: a derivada de t^{a} é a t^{a-1}.)

Passo 5

Substituir as parciais e as derivadas na fórmula da regra da cadeia:
\frac{dw}{dt}= \frac{6x}{3x^{2}-2y+4z^{3}}\cdot\frac{1}{2}t^{-1/2} + \frac{-2}{3x^{2}-2y+4z^{3}}\cdot\frac{2}{3}t^{-1/3} + \frac{12z^{2}}{3x^{2}-2y+4z^{3}}\cdot(-2t^{-3}).

Passo 6

Simplificar cada termo antes de substituir x,y,z por suas expressões em t:
  • Primeiro termo: \dfrac{6x}{\cdots}\cdot\dfrac{1}{2}t^{-1/2}=\dfrac{3x\,t^{-1/2}}{3x^{2}-2y+4z^{3}}.
  • Segundo termo: \dfrac{-2}{\cdots}\cdot\dfrac{2}{3}t^{-1/3}=\dfrac{-4/3\;t^{-1/3}}{3x^{2}-2y+4z^{3}}.
  • Terceiro termo: \dfrac{12z^{2}}{\cdots}\cdot(-2t^{-3})=\dfrac{-24\,z^{2}t^{-3}}{3x^{2}-2y+4z^{3}}.

Passo 7

Agora usar x=t^{1/2},\;y=t^{2/3},\;z=t^{-2} para simplificar ainda mais:
  • x\,t^{-1/2}=t^{1/2}t^{-1/2}=1. Então o primeiro termo vira \dfrac{3}{3x^{2}-2y+4z^{3}}.
  • z^{2}t^{-3}=t^{-4}t^{-3}=t^{-7}. Então o terceiro termo vira \dfrac{-24\,t^{-7}}{3x^{2}-2y+4z^{3}}.
  • No segundo termo já temos somente potências de t: \dfrac{-4/3\;t^{-1/3}}{3x^{2}-2y+4z^{3}}.
Além disso podemos escrever o denominador em função de t:
3x^{2}-2y+4z^{3}=3t-2t^{2/3}+4t^{-6},
pois x^{2}=t, y=t^{2/3} e z^{3}=t^{-6}.

Passo 8

Juntando tudo, obtemos uma expressão única para \dfrac{dw}{dt} em termos de t:
\frac{dw}{dt} = \frac{3-\dfrac{4}{3}t^{-1/3}-24t^{-7}}{3t-2t^{2/3}+4t^{-6}}.
Podemos multiplicar numerador e denominador por 3 para eliminar o coeficiente fracionário no numerador, se desejar:
\frac{dw}{dt} = \frac{9-4t^{-1/3}-72t^{-7}}{9t-6t^{2/3}+12t^{-6}}.

Resposta

\frac{9-4t{-1/3}-72t{-7}}{9t-6t{2/3}+12t{-6}}

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