Use uma forma apropriada da regra da cadeia para determinar
.
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede:
- A função composta definida por
em função de :
(Observe que escrevi
explicitando a associação:
significa
e
significa
.)
- As dependências de
em função de :
- O que se pede: determinar
, isto é, a derivada total de em relação a , usando uma forma apropriada da regra da cadeia.
Passo 2
Fórmula da regra da cadeia (caso de função de várias variáveis composta):
Se e
, então a derivada total de
em relação a
é dada por
Se
Explicação didática curta:
mede a taxa de variação de
quando só
muda; multiplicando por
temos a contribuição ao ritmo de variação de
causada pela variação de
. Soma-se análoga contribuição de
e
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
em relação a
.
Primeiro escrevemos claramente :
Primeiro escrevemos claramente
- Derivada parcial em relação a
: tratar e como constantes. A derivada de é e a de é . Assim,
- Derivada parcial em relação a
: aqui e são constantes; é produto em que só varia, então
- Derivada parcial em relação a
: só o termo depende de , linearmente, portanto
Passo 4
Calcular as derivadas de
em relação a
.
- Para
usamos a regra da potência: então
- Para
,
- Para
,
Passo 5
Aplicar a fórmula da regra da cadeia juntando as derivadas parciais e
:
Passo 6
Substituir
,
,
e simplificar passo a passo.
Primeiro a primeira parcela:
Primeiro a primeira parcela:
Multiplicando por
dá
Simplificando as potências:
Agora as outras parcelas já substituídas:
Somando tudo:
Agrupando termos em
e em
:
Passo 7
Comentário final curto e incentivo: pronto — a expressão acima é a derivada total pedida. Conseguiu ver como cada parte (parciais e derivadas das variáveis) contribui? Se quiser, posso mostrar um exemplo numérico rápido para conferir um valor em um
específico. Vai dar certo na prova — só lembrar da fórmula da cadeia e de tratar corretamente cada parcial.