Use uma forma apropriada da regra da cadeia para determinar d w / d t.
w=5 \cos x y-\operatorname{sen} x z ; x=1 / t, y=t, z=t^{3}

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • A função composta definida por w em função de x,y,z:
w=5y\cos x - z\sin x.
(Observe que escrevi w explicitando a associação: 5\cos x\;y significa 5y\cos x e \operatorname{sen} x\; z significa z\sin x.)
  • As dependências de x,y,z em função de t:
x=\frac{1}{t},\qquad y=t,\qquad z=t^{3}.
  • O que se pede: determinar \dfrac{dw}{dt}, isto é, a derivada total de w em relação a t, usando uma forma apropriada da regra da cadeia.

Passo 2

Fórmula da regra da cadeia (caso de função de várias variáveis composta):
Se w=w(x,y,z) e x=x(t),y=y(t),z=z(t), então a derivada total de w em relação a t é dada por
\frac{dw}{dt}=\frac{\partial w}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial w}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}+\frac{\partial w}{\partial z}\,\frac{dz}{dt}.
Explicação didática curta: \partial w/\partial x mede a taxa de variação de w quando só x muda; multiplicando por dx/dt temos a contribuição ao ritmo de variação de w causada pela variação de x. Soma-se análoga contribuição de y e z.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de w em relação a x,y,z.
Primeiro escrevemos claramente w:
w(x,y,z)=5y\cos x - z\sin x.
  • Derivada parcial em relação a x: tratar y e z como constantes. A derivada de \cos x é -\sin x e a de \sin x é \cos x. Assim,
\frac{\partial w}{\partial x} = 5y\cdot(-\sin x) - z\cdot(\cos x) = -5y\sin x - z\cos x.
  • Derivada parcial em relação a y: aqui x e z são constantes; 5y\cos x é produto em que só y varia, então
\frac{\partial w}{\partial y} = 5\cos x.
  • Derivada parcial em relação a z: só o termo -z\sin x depende de z, linearmente, portanto
\frac{\partial w}{\partial z} = -\sin x.

Passo 4

Calcular as derivadas de x,y,z em relação a t.
  • Para x=\dfrac{1}{t} usamos a regra da potência: x=t^{-1} então
\frac{dx}{dt} = -t^{-2} = -\frac{1}{t^{2}}.
  • Para y=t,
\frac{dy}{dt}=1.
  • Para z=t^{3},
\frac{dz}{dt}=3t^{2}.

Passo 5

Aplicar a fórmula da regra da cadeia juntando as derivadas parciais e dx/dt,dy/dt,dz/dt:
\frac{dw}{dt}=\bigl(-5y\sin x - z\cos x\bigr)\cdot\biggl(-\frac{1}{t^{2}}\biggr)+\bigl(5\cos x\bigr)\cdot 1 + \bigl(-\sin x\bigr)\cdot\bigl(3t^{2}\bigr).

Passo 6

Substituir x=\dfrac{1}{t}, y=t, z=t^{3} e simplificar passo a passo.
Primeiro a primeira parcela:
-5y\sin x - z\cos x = -5t\sin\!\left(\frac{1}{t}\right) - t^{3}\cos\!\left(\frac{1}{t}\right).
Multiplicando por -1/t^{2}
\bigl(-5t\sin\!\left(\tfrac{1}{t}\right)-t^{3}\cos\!\left(\tfrac{1}{t}\right)\bigr)\bigl(-\tfrac{1}{t^{2}}\bigr) = \frac{5t\sin\!\left(\tfrac{1}{t}\right)}{t^{2}}+\frac{t^{3}\cos\!\left(\tfrac{1}{t}\right)}{t^{2}}.
Simplificando as potências:
\frac{5t\sin\!\left(\tfrac{1}{t}\right)}{t^{2}} = \frac{5}{t}\sin\!\left(\tfrac{1}{t}\right), \qquad \frac{t^{3}\cos\!\left(\tfrac{1}{t}\right)}{t^{2}} = t\cos\!\left(\tfrac{1}{t}\right).
Agora as outras parcelas já substituídas:
5\cos x = 5\cos\!\left(\tfrac{1}{t}\right), \qquad - \sin x \cdot 3t^{2} = -3t^{2}\sin\!\left(\tfrac{1}{t}\right).
Somando tudo:
\frac{dw}{dt} = \frac{5}{t}\sin\!\left(\tfrac{1}{t}\right) + t\cos\!\left(\tfrac{1}{t}\right) + 5\cos\!\left(\tfrac{1}{t}\right) - 3t^{2}\sin\!\left(\tfrac{1}{t}\right).
Agrupando termos em \cos e em \sin:
\frac{dw}{dt} = \bigl(t+5\bigr)\cos\!\left(\tfrac{1}{t}\right) + \left(\frac{5}{t}-3t^{2}\right)\sin\!\left(\tfrac{1}{t}\right).

Passo 7

Comentário final curto e incentivo: pronto — a expressão acima é a derivada total pedida. Conseguiu ver como cada parte (parciais e derivadas das variáveis) contribui? Se quiser, posso mostrar um exemplo numérico rápido para conferir um valor em um t específico. Vai dar certo na prova — só lembrar da fórmula da cadeia e de tratar corretamente cada parcial.

Resposta

\frac{dw}{dt}=\bigl(t+5\bigr)\cos\!\left(\frac{1}{t}\right)+\left(\frac{5}{t}-3t^{2}\right)\sin\!\left(\frac{1}{t}\right)

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