Use uma forma apropriada da regra da cadeia para determinar
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde as funções envolvidas são:
-
. -
. -
. -
.
O que é solicitado: a derivada de
em relação a
, isto é
, usando uma forma apropriada da regra da cadeia. Todas as expressões dadas acima serão usadas.
Passo 2
Identificar a composição de funções e aplicar a regra da cadeia básica.
Temos
como função da expressão interna
ou seja
A regra da cadeia diz que, se
e
, então
Derivando
em relação a
temos a regra da potência:
Portanto
Agora vamos calcular
com cuidado.
Passo 3
Calcular as derivadas das funções básicas que aparecem:
Também vamos usar que
e, portanto,
Passo 4
Escrever
e derivá-lo. Lembre que
A derivada de
é
. Para
usamos a regra do produto (três fatores
,
,
):
Agora substituímos as derivadas e os valores em termos de
:
-
. -
. -
. -
. -
. -
.
Calcule cada termo dentro do parêntese:
Somando esses três termos:
Multiplicando por
:
Finalmente,
Uma forma fatorada útil é
Passo 5
Substituir
e
na expressão da regra da cadeia.
Primeiro escrevemos
explicitamente em termos de
:
Portanto, usando a fórmula da Passo 2:
Ou, de forma levemente mais compacta,