Use uma forma apropriada da regra da cadeia para determinar d w / d t.
w=\sqrt{1+x-2 y z^{4} x} ; x=\ln t, y=t, z=4 t

Passo 1

O enunciado pede para calcular \dfrac{dw}{dt} onde as funções envolvidas são:
  • w=\sqrt{1+x-2\,y\,z^{4}x}.
  • x=\ln t.
  • y=t.
  • z=4t.
O que é solicitado: a derivada de w em relação a t, isto é \dfrac{dw}{dt}, usando uma forma apropriada da regra da cadeia. Todas as expressões dadas acima serão usadas.

Passo 2

Identificar a composição de funções e aplicar a regra da cadeia básica.
Temos w como função da expressão interna
u(t)=1+x-2\,y\,z^{4}x,
ou seja
w=\sqrt{u(t)}=u(t)^{1/2}.
A regra da cadeia diz que, se w(u)=u^{1/2} e u=u(t), então
\frac{dw}{dt}=\frac{dw}{du}\cdot\frac{du}{dt}.
Derivando w em relação a u temos a regra da potência:
\frac{dw}{du}=\frac{1}{2}u^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{u}}.
Portanto
\frac{dw}{dt}=\frac{1}{2\sqrt{u(t)}}\cdot\frac{du}{dt}.
Agora vamos calcular \dfrac{du}{dt} com cuidado.

Passo 3

Calcular as derivadas das funções básicas que aparecem:
  • x=\ln t \Rightarrow \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{1}{t}.
  • y=t \Rightarrow \dfrac{dy}{dt}=1.
  • z=4t \Rightarrow \dfrac{dz}{dt}=4.
Também vamos usar que
z^{4}=(4t)^{4}=256\,t^{4}
e, portanto,
\frac{d}{dt}\big(z^{4}\big)=\frac{d}{dt}(256\,t^{4})=1024\,t^{3}.

Passo 4

Escrever u(t) e derivá-lo. Lembre que
u(t)=1+x-2\,y\,z^{4}x.
A derivada de 1 é 0. Para -2\,y\,z^{4}x usamos a regra do produto (três fatores x, y, z^{4}):
\frac{d}{dt}\big(-2\,x\,y\,z^{4}\big)=-2\left(\frac{dx}{dt}\,y\,z^{4}+x\,\frac{dy}{dt}\,z^{4}+x\,y\,\frac{d}{dt}(z^{4})\right).
Agora substituímos as derivadas e os valores em termos de t:
  • \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{1}{t}.
  • y=t.
  • z^{4}=256\,t^{4}.
  • \dfrac{dy}{dt}=1.
  • \dfrac{d}{dt}(z^{4})=1024\,t^{3}.
  • x=\ln t.
Calcule cada termo dentro do parêntese:
\frac{dx}{dt}\,y\,z^{4}=\frac{1}{t}\cdot t\cdot 256\,t^{4}=256\,t^{4},
x\,\frac{dy}{dt}\,z^{4}=(\ln t)\cdot 1\cdot 256\,t^{4}=256\,t^{4}\ln t,
x\,y\,\frac{d}{dt}(z^{4})=(\ln t)\cdot t\cdot 1024\,t^{3}=1024\,t^{4}\ln t.
Somando esses três termos:
256\,t^{4}+256\,t^{4}\ln t+1024\,t^{4}\ln t=256\,t^{4}+1280\,t^{4}\ln t.
Multiplicando por -2:
\frac{d}{dt}\big(-2\,x\,y\,z^{4}\big)=-512\,t^{4}-2560\,t^{4}\ln t.
Finalmente,
\frac{du}{dt}=\frac{d}{dt}(1+x)+\frac{d}{dt}\big(-2\,x\,y\,z^{4}\big) =\frac{1}{t}-512\,t^{4}-2560\,t^{4}\ln t.
Uma forma fatorada útil é
\frac{du}{dt}=\frac{1}{t}-512\,t^{4}\big(1+5\ln t\big).

Passo 5

Substituir u(t) e \dfrac{du}{dt} na expressão da regra da cadeia.
Primeiro escrevemos u(t) explicitamente em termos de t:
u(t)=1+x-2\,y\,z^{4}x=1+\ln t-2\cdot t\cdot 256\,t^{4}\ln t=1+\ln t-512\,t^{5}\ln t.
Portanto, usando a fórmula da Passo 2:
\frac{dw}{dt}=\frac{1}{2\sqrt{1+\ln t-512\,t^{5}\ln t}}\left(\frac{1}{t}-512\,t^{4}-2560\,t^{4}\ln t\right).
Ou, de forma levemente mais compacta,
\frac{dw}{dt}=\frac{1}{2\sqrt{1+\ln t-512\,t^{5}\ln t}}\left(\frac{1}{t}-512\,t^{4}\big(1+5\ln t\big)\right).

Resposta

\frac{dw}{dt}=\frac{1}{2\sqrt{1+\ln t-512\,t^{5}\ln t}}\left(\frac{1}{t}-512\,t^{4}-2560\,t^{4}\ln t\right)

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