Use uma forma apropriada da regra da cadeia para determinar
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes funções (peguei todas as expressões do enunciado):
-
. -
. -
.
O que o problema pede:
- Determinar
. - Determinar
.
Observação importante sobre domínio: as expressões usam
e
, portanto vamos supor que
e
no domínio onde as derivadas estão sendo calculadas.
Passo 2
Vamos usar a forma apropriada da regra da cadeia para funções compostas. Se
com
e
, então as derivadas parciais de
em relação a
e
são dadas por:
Explicando devagar: a ideia é que uma mudança em
muda
através das mudanças que provoca em
e em
. Cada termo multiplica a sensibilidade de
em relação a
(ou
) pela sensibilidade de
(ou
) em relação a
(ou
).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. Como
é linear em
e
:
Explicação: derivada de
em relação a
é
; derivada de
em relação a
é
.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
.
- Para
: trate como constante. Derivada de é . Derivada de em relação a é (porque é constante e ). Logo
- Para
: trate como constante. Derivada de é . Derivada de em relação a é (porque é constante aqui). Logo
Passo 5
Calcular as derivadas parciais de
.
- Para
: trate como constante. Derivada de é . A parte não depende de , então sua derivada é . Logo
- Para
: trate como constante. Temos que derivar em relação a . Use a regra do produto para : . Portanto a derivada de é . Assim
Explicação rápida:
.
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula da regra da cadeia para
. Substituindo os valores calculados:
Calculemos passo a passo:
Somando os termos:
Se desejar uma única fração:
Passo 7
Agora a mesma coisa para
. Substituindo:
Calculemos os termos:
Somando:
Passo 8
Pequeno exemplo numérico para fixar (apenas ilustração): se
e
(valores válidos porque são positivos), então
Isso só mostra como usar as fórmulas finais em números.