Use uma forma apropriada da regra da cadeia para determinar ∂ z / ∂ u e ∂ z / ∂ v.
z=3 x-2 y ; x=u+v \ln u, y=u^{2}-v \ln v

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes funções (peguei todas as expressões do enunciado):
  • z=3x-2y.
  • x=u+v\ln u.
  • y=u^{2}-v\ln v.
O que o problema pede:
  • Determinar \dfrac{\partial z}{\partial u}.
  • Determinar \dfrac{\partial z}{\partial v}.
Observação importante sobre domínio: as expressões usam \ln u e \ln v, portanto vamos supor que u>0 e v>0 no domínio onde as derivadas estão sendo calculadas.

Passo 2

Vamos usar a forma apropriada da regra da cadeia para funções compostas. Se z=z(x,y) com x=x(u,v) e y=y(u,v), então as derivadas parciais de z em relação a u e v são dadas por:
\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u},
\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}.
Explicando devagar: a ideia é que uma mudança em u muda z através das mudanças que provoca em x e em y. Cada termo multiplica a sensibilidade de z em relação a x (ou y) pela sensibilidade de x (ou y) em relação a u (ou v).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y. Como z é linear em x e y:
\frac{\partial z}{\partial x}=3, \qquad \frac{\partial z}{\partial y}=-2.
Explicação: derivada de 3x em relação a x é 3; derivada de -2y em relação a y é -2.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de x(u,v)=u+v\ln u.
  • Para \dfrac{\partial x}{\partial u}: trate v como constante. Derivada de u é 1. Derivada de v\ln u em relação a u é v\cdot\dfrac{1}{u} (porque v é constante e \dfrac{d}{du}\ln u=\dfrac{1}{u}). Logo
\frac{\partial x}{\partial u}=1+\frac{v}{u}.
  • Para \dfrac{\partial x}{\partial v}: trate u como constante. Derivada de u é 0. Derivada de v\ln u em relação a v é \ln u (porque \ln u é constante aqui). Logo
\frac{\partial x}{\partial v}=\ln u.

Passo 5

Calcular as derivadas parciais de y(u,v)=u^{2}-v\ln v.
  • Para \dfrac{\partial y}{\partial u}: trate v como constante. Derivada de u^{2} é 2u. A parte -v\ln v não depende de u, então sua derivada é 0. Logo
\frac{\partial y}{\partial u}=2u.
  • Para \dfrac{\partial y}{\partial v}: trate u como constante. Temos que derivar -v\ln v em relação a v. Use a regra do produto para v\ln v: \dfrac{d}{dv}(v\ln v)=\ln v+1. Portanto a derivada de -v\ln v é -(\ln v+1). Assim
\frac{\partial y}{\partial v}=-(\ln v+1)=-\ln v-1.
Explicação rápida: \dfrac{d}{dv}(v\ln v)=1\cdot\ln v + v\cdot\dfrac{1}{v}=\ln v+1.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula da regra da cadeia para \dfrac{\partial z}{\partial u}. Substituindo os valores calculados:
\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u} = 3\left(1+\frac{v}{u}\right)+(-2)(2u).
Calculemos passo a passo:
3\left(1+\frac{v}{u}\right)=3+ \frac{3v}{u}, \qquad (-2)(2u)=-4u.
Somando os termos:
\frac{\partial z}{\partial u}=3+\frac{3v}{u}-4u.
Se desejar uma única fração:
\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{3u-4u^{2}+3v}{u}.

Passo 7

Agora a mesma coisa para \dfrac{\partial z}{\partial v}. Substituindo:
\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v} = 3(\ln u)+(-2)(-\ln v-1).
Calculemos os termos:
3(\ln u)=3\ln u, \qquad (-2)(-\ln v-1)=2\ln v+2.
Somando:
\frac{\partial z}{\partial v}=3\ln u+2\ln v+2.

Passo 8

Pequeno exemplo numérico para fixar (apenas ilustração): se u=1 e v=2 (valores válidos porque são positivos), então
\frac{\partial z}{\partial u}\Big|_{(1,2)}=3+\frac{3\cdot2}{1}-4\cdot1=3+6-4=5,
\frac{\partial z}{\partial v}\Big|_{(1,2)}=3\ln 1+2\ln 2+2=0+2\ln 2+2.
Isso só mostra como usar as fórmulas finais em números.

Resposta

\dfrac{\partial z}{\partial u}=3+\dfrac{3v}{u}-4u
\dfrac{\partial z}{\partial v}=3\ln u+2\ln v+2

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