Use uma forma apropriada da regra da cadeia para determinar ∂ z / ∂ u e ∂ z / ∂ v.
z=\cos x \operatorname{sen} y ; x=u, y=u^{2}+v^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \dfrac{\partial z}{\partial u} e \dfrac{\partial z}{\partial v}. As informações dadas são:
  • z=\cos x\\ \sin y.
  • x=u.
  • y=u^{2}+v^{2}.
Ou seja, z é dada em termos de x e y, que por sua vez dependem de u e v. As incógnitas pedidas são as derivadas parciais de z em relação a u e a v.

Passo 2

Vou explicar a regra da cadeia apropriada aqui (de forma concreta e útil para a prova).
Se z depende de x e y, e x e y dependem de u e v, então a derivada parcial de z em relação a u é dada por
\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial u}.
Analogamente, a derivada parcial de z em relação a v é
\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial v}.
Explicação curta do porquê: ao variar u a função z muda tanto pela variação de x quanto pela variação de y. Cada termo multiplica a sensibilidade de z a essa variável intermediária pela sensibilidade da variável intermediária a u. É como somar os “caminhos” pelos quais u afeta z.

Passo 3

Calcular agora as derivadas parciais intermediárias \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y}, tratando a outra variável como constante em cada caso.
Temos z=\cos x\\ \sin y. Diferenciando em relação a x (com y constante):
  • a derivada de \cos x é -\sin x,
  • \sin y fica como constante multiplicativa.
Logo
\frac{\partial z}{\partial x} = -\sin x\\ \sin y.
Diferenciando em relação a y (com x constante):
  • a derivada de \sin y é \cos y,
  • \cos x fica como constante multiplicativa.
Logo
\frac{\partial z}{\partial y} = \cos x\\ \cos y.

Passo 4

Calcular as derivadas de x e y em relação a u e v, usando as definições x=u e y=u^{2}+v^{2}.
Para x=u:
\frac{\partial x}{\partial u}=1, \qquad \frac{\partial x}{\partial v}=0.
Para y=u^{2}+v^{2}:
\frac{\partial y}{\partial u}=2u, \qquad \frac{\partial y}{\partial v}=2v.

Passo 5

Agora aplico a regra da cadeia para obter \dfrac{\partial z}{\partial u}. Usando a fórmula do Passo 2 e os resultados dos Passos 3 e 4:
\frac{\partial z}{\partial u} = \left(-\sin x\\ \sin y\right)\cdot 1 + \left(\cos x\\ \cos y\right)\cdot (2u).
Simplificando:
\frac{\partial z}{\partial u} = -\sin x\\ \sin y + 2u\\ \cos x\\ \cos y.

Passo 6

Aplicando a mesma ideia para \dfrac{\partial z}{\partial v}:
\frac{\partial z}{\partial v} = \left(-\sin x\\ \sin y\right)\cdot 0 + \left(\cos x\\ \cos y\right)\cdot (2v).
Portanto
\frac{\partial z}{\partial v} = 2v\\ \cos x\\ \cos y.

Passo 7

Como o enunciado dá x=u e y=u^{2}+v^{2}, substituo essas expressões para escrever as derivadas finais em função de u e v (isso é o que será cobrado na prova normalmente):
\frac{\partial z}{\partial u} = -\sin(u)\,\sin\bigl(u^{2}+v^{2}\bigr) + 2u\,\cos(u)\,\cos\bigl(u^{2}+v^{2}\bigr),
\frac{\partial z}{\partial v} = 2v\,\cos(u)\,\cos\bigl(u^{2}+v^{2}\bigr).
Dica rápida para a prova: anote sempre a versão intermediária com \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y} — isso evita confusão e acelera os cálculos na hora.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u}=-\sin(u)\,\sin\bigl(u^{2}+v^{2}\bigr)+2u\,\cos(u)\,\cos\bigl(u^{2}+v^{2}\bigr)\n
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial v}=2v\,\cos(u)\,\cos\bigl(u^{2}+v^{2}\bigr)

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