Use uma forma apropriada da regra da cadeia para determinar
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
e
. As informações dadas são:
-
. -
. -
.
Ou seja,
é dada em termos de
e
, que por sua vez dependem de
e
. As incógnitas pedidas são as derivadas parciais de
em relação a
e a
.
Passo 2
Vou explicar a regra da cadeia apropriada aqui (de forma concreta e útil para a prova).
Se
depende de
e
, e
e
dependem de
e
, então a derivada parcial de
em relação a
é dada por
Analogamente, a derivada parcial de
em relação a
é
Explicação curta do porquê: ao variar
a função
muda tanto pela variação de
quanto pela variação de
. Cada termo multiplica a sensibilidade de
a essa variável intermediária pela sensibilidade da variável intermediária a
. É como somar os “caminhos” pelos quais
afeta
.
Passo 3
Calcular agora as derivadas parciais intermediárias
e
, tratando a outra variável como constante em cada caso.
Temos
. Diferenciando em relação a
(com
constante):
- a derivada de
é , -
fica como constante multiplicativa.
Logo
Diferenciando em relação a
(com
constante):
- a derivada de
é , -
fica como constante multiplicativa.
Logo
Passo 4
Calcular as derivadas de
e
em relação a
e
, usando as definições
e
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora aplico a regra da cadeia para obter
. Usando a fórmula do Passo 2 e os resultados dos Passos 3 e 4:
Simplificando:
Passo 6
Aplicando a mesma ideia para
:
Portanto
Passo 7
Como o enunciado dá
e
, substituo essas expressões para escrever as derivadas finais em função de
e
(isso é o que será cobrado na prova normalmente):
Dica rápida para a prova: anote sempre a versão intermediária com
e
— isso evita confusão e acelera os cálculos na hora.