Use uma forma apropriada da regra da cadeia para determinar ∂ z / ∂ u e ∂ z / ∂ v.
z=x^{2}-y \operatorname{tg} x ; x=u / v, y=u^{2} v^{2}

Passo 1

O enunciado pede que se determine \dfrac{\partial z}{\partial u} e \dfrac{\partial z}{\partial v}. As informações dadas são:
  • A função z é definida por z = x^{2} - y\,\operatorname{tg} x.
  • As variáveis x e y são funções de u e v: x = \dfrac{u}{v} e y = u^{2} v^{2}.
Portanto precisamos calcular as derivadas parciais de z em relação a u e a v, levando em conta que z depende de u,v apenas através de x(u,v) e y(u,v).

Passo 2

Lembrete da regra da cadeia para funções de várias variáveis (em linguagem simples):
Se z=z(x,y) e x=x(u,v),\,y=y(u,v), então a derivada parcial de z em relação a u é dada por
\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial u},
e analogamente para v:
\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial v}.
Explicando de forma bem intuitiva: quando u muda, z muda porque x muda e também porque y muda; somamos as contribuições de cada via multiplicando as taxas parciais apropriadas.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y, tratando a outra variável como constante.
A função é z(x,y)=x^{2}-y\,\operatorname{tg} x.
  • Derivada parcial de z em relação a x: a derivada de x^{2} em relação a x é 2x. Para -y\,\operatorname{tg} x, y é tratado como constante, e a derivada de \operatorname{tg} x é \operatorname{sec}^{2} x. Logo
\frac{\partial z}{\partial x}=2x - y\,\operatorname{sec}^{2} x.
(Observação: \operatorname{sec}^{2}x significa 1/\cos^{2}x.)
  • Derivada parcial de z em relação a y: tratando x como constante, a única dependência em y é linear em -y\,\operatorname{tg} x, então
\frac{\partial z}{\partial y}=-\operatorname{tg} x.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de x e y em relação a u e v.
Dado x=\dfrac{u}{v}:
  • Diferenciando em relação a u (com v constante),
\frac{\partial x}{\partial u}=\frac{1}{v}.
  • Diferenciando em relação a v (com u constante), usar quociente ou regra da potência:
\frac{\partial x}{\partial v}=\frac{\partial}{\partial v}\left(u v^{-1}\right) = -u v^{-2} = -\frac{u}{v^{2}}.
Dado y=u^{2} v^{2}:
  • Diferenciando em relação a u (com v constante),
\frac{\partial y}{\partial u}=2u\,v^{2}.
  • Diferenciando em relação a v (com u constante),
\frac{\partial y}{\partial v}=2v\,u^{2}=2u^{2}v.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia para obter \dfrac{\partial z}{\partial u} numa forma ainda em termos de x,y, u,v:
\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u} = \big(2x - y\,\operatorname{sec}^{2}x\big)\cdot\frac{1}{v} + \big(-\operatorname{tg} x\big)\cdot\big(2u v^{2}\big).
Agora substituir x=\dfrac{u}{v} e y=u^{2}v^{2} para escrever tudo em u,v. Primeiro simplifico cada termo:
  • O primeiro termo: \big(2x\big)\frac{1}{v} = 2\frac{u}{v}\cdot\frac{1}{v} = \dfrac{2u}{v^{2}}.
  • O segundo termo do primeiro produto: -y\,\operatorname{sec}^{2}x\cdot\frac{1}{v} = -u^{2}v^{2}\,\operatorname{sec}^{2}\!\big(\tfrac{u}{v}\big)\cdot\frac{1}{v} = -u^{2}v\,\operatorname{sec}^{2}\!\big(\tfrac{u}{v}\big).
  • O terceiro termo: -\operatorname{tg} x\cdot 2u v^{2} = -2u v^{2}\,\operatorname{tg}\!\big(\tfrac{u}{v}\big).
Juntando:
\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{2u}{v^{2}} - u^{2}v\,\operatorname{sec}^{2}\!\big(\tfrac{u}{v}\big) - 2u v^{2}\,\operatorname{tg}\!\big(\tfrac{u}{v}\big).

Passo 6

Agora calcular \dfrac{\partial z}{\partial v} usando a regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v} = \big(2x - y\,\operatorname{sec}^{2}x\big)\cdot\big(-\frac{u}{v^{2}}\big) + \big(-\operatorname{tg} x\big)\cdot\big(2u^{2}v\big).
Substituir x=\dfrac{u}{v} e y=u^{2}v^{2} e simplificar termo a termo:
  • Primeiro subtermo: 2x\cdot\big(-\dfrac{u}{v^{2}}\big) = -2\frac{u}{v}\cdot\frac{u}{v^{2}} = -\dfrac{2u^{2}}{v^{3}}.
  • Segundo subtermo: -y\,\operatorname{sec}^{2}x\cdot\big(-\dfrac{u}{v^{2}}\big) = +y\,\operatorname{sec}^{2}x\cdot\frac{u}{v^{2}} = u^{2}v^{2}\,\operatorname{sec}^{2}\!\big(\tfrac{u}{v}\big)\cdot\frac{u}{v^{2}} = u^{3}\,\operatorname{sec}^{2}\!\big(\tfrac{u}{v}\big).
  • Terceiro termo: -\operatorname{tg} x\cdot 2u^{2}v = -2u^{2}v\,\operatorname{tg}\!\big(\tfrac{u}{v}\big).
Juntando:
\frac{\partial z}{\partial v} = -\frac{2u^{2}}{v^{3}} + u^{3}\,\operatorname{sec}^{2}\!\big(\tfrac{u}{v}\big) - 2u^{2}v\,\operatorname{tg}\!\big(\tfrac{u}{v}\big).

Passo 7

Opções de escrita mais compacta (opcional, só para ver padrão de fatoração):
  • Para \dfrac{\partial z}{\partial u} pode-se fatorar u:
\frac{\partial z}{\partial u}=u\left(\frac{2}{v^{2}} - u v\,\operatorname{sec}^{2}\!\big(\tfrac{u}{v}\big) - 2 v^{2}\,\operatorname{tg}\!\big(\tfrac{u}{v}\big)\right).
  • Para \dfrac{\partial z}{\partial v} pode-se fatorar u^{2}:
\frac{\partial z}{\partial v}=u^{2}\left(-\frac{2}{v^{3}} + u\,\operatorname{sec}^{2}\!\big(\tfrac{u}{v}\big) - 2 v\,\operatorname{tg}\!\big(\tfrac{u}{v}\big)\right).
Isso conclui a dedução detalhada.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u}=\frac{2u}{v^{2}}-u^{2}v\,\operatorname{sec}^{2}\!\big(\tfrac{u}{v}\big)-2u v^{2}\,\operatorname{tg}\!\big(\tfrac{u}{v}\big)
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial v}=-\frac{2u^{2}}{v^{3}}+u^{3}\,\operatorname{sec}^{2}\!\big(\tfrac{u}{v}\big)-2u^{2}v\,\operatorname{tg}\!\big(\tfrac{u}{v}\big)

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