Use uma forma apropriada da regra da cadeia para determinar
e
.
Passo 1
O enunciado pede que se determine
e
. As informações dadas são:
- A função
é definida por . - As variáveis
e são funções de e : e .
Portanto precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
, levando em conta que
depende de
apenas através de
e
.
Passo 2
Lembrete da regra da cadeia para funções de várias variáveis (em linguagem simples):
Se e
, então a derivada parcial de
em relação a
é dada por
Se
e analogamente para
:
Explicando de forma bem intuitiva: quando
muda,
muda porque
muda e também porque
muda; somamos as contribuições de cada via multiplicando as taxas parciais apropriadas.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, tratando a outra variável como constante.
A função é
.
- Derivada parcial de
em relação a : a derivada de em relação a é . Para , é tratado como constante, e a derivada de é . Logo
(Observação:
significa
.)
- Derivada parcial de
em relação a : tratando como constante, a única dependência em é linear em , então
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
.
Dado
:
- Diferenciando em relação a
(com constante),
- Diferenciando em relação a
(com constante), usar quociente ou regra da potência:
Dado
:
- Diferenciando em relação a
(com constante),
- Diferenciando em relação a
(com constante),
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia para obter
numa forma ainda em termos de
,
:
Agora substituir
e
para escrever tudo em
. Primeiro simplifico cada termo:
- O primeiro termo:
. - O segundo termo do primeiro produto:
. - O terceiro termo:
.
Juntando:
Passo 6
Agora calcular
usando a regra da cadeia:
Substituir
e
e simplificar termo a termo:
- Primeiro subtermo:
. - Segundo subtermo:
- Terceiro termo:
Juntando:
Passo 7
Opções de escrita mais compacta (opcional, só para ver padrão de fatoração):
- Para
pode-se fatorar :
- Para
pode-se fatorar :
Isso conclui a dedução detalhada.