Passo 1
O enunciado nos pede para analisar a série infinita
. Estamos trabalhando com o conceito de séries numéricas, especificamente das chamadas séries p. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender o que é uma série p e como determinar se ela converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série p. Uma série p tem a forma geral
, onde p é um número real positivo. A característica principal dessa série é que a sua convergência depende do valor de p.
Passo 3
A regra para determinar a convergência de uma série p é a seguinte:
- Se p > 1, a série converge (ou seja, soma um valor finito).
- Se p ≤ 1, a série diverge (ou seja, a soma tende ao infinito).
Essa regra nos ajuda a saber se a soma infinita da série vai resultar em um número específico ou se vai crescer sem limites.
Passo 4
Vamos aplicar isso à série que temos:
. Podemos reescrever essa expressão para facilitar a comparação com a série p padrão:
Aqui, o expoente de n é 1/3, ou seja, p = 1/3.
Passo 5
Comparando com a regra das séries p:
- p = 1/3
- Como 1/3 ≤ 1, de acordo com a regra, a série diverge.
Resposta
A série
diverge, ou seja, seu somatório tende ao infinito.