sumn=1^infty 2raiz[3]n

Passo 1

O enunciado nos pede para analisar a série infinita sumn=1^infty 2raiz[3]n. Estamos trabalhando com o conceito de séries numéricas, especificamente das chamadas séries p. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender o que é uma série p e como determinar se ela converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série p. Uma série p tem a forma geral sumn=1^infty 1n^p, onde p é um número real positivo. A característica principal dessa série é que a sua convergência depende do valor de p.

Passo 3

A regra para determinar a convergência de uma série p é a seguinte:
  • Se p > 1, a série converge (ou seja, soma um valor finito).
  • Se p ≤ 1, a série diverge (ou seja, a soma tende ao infinito).
Essa regra nos ajuda a saber se a soma infinita da série vai resultar em um número específico ou se vai crescer sem limites.

Passo 4

Vamos aplicar isso à série que temos: sumn=1^infty 2raiz[3]n. Podemos reescrever essa expressão para facilitar a comparação com a série p padrão:
sumn=1^infty 2n^1/3
Aqui, o expoente de n é 1/3, ou seja, p = 1/3.

Passo 5

Comparando com a regra das séries p:
  • p = 1/3
  • Como 1/3 ≤ 1, de acordo com a regra, a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty 2raiz[3]n diverge, ou seja, seu somatório tende ao infinito.

Exercícios relacionados