Use a Forma Inversa do Teorema de Convolução para encontrar f(t)
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{\left(s^{2}+4\right)^{2}}\} \right

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa de Laplace
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{\left(s^{2}+4\right)^{2}}\right\}.
Informações dadas:
\text{função no domínio de }s:\quad \frac{s}{(s^{2}+4)^{2}}.çãí
Objetivo: encontrar a função f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=\dfrac{s}{(s^{2}+4)^{2}}.

Passo 2

Vou usar a Forma Inversa do Teorema da Convolução. Primeiro, lembro o enunciado útil desse teorema:
se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} e G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}, então
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\,G(s)\} = (f*g)(t) = \int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau,
onde (f*g)(t) é a convolução de f e g. Vou explicar passo a passo o que isso significa: transformar um produto no domínio de s em uma integral no domínio do tempo. É uma forma prática quando conseguimos escrever a função em s como produto de duas transformadas conhecidas.

Passo 3

Escrevo a função como produto de duas frações conhecidas:
\frac{s}{(s^{2}+4)^{2}}=\frac{s}{s^{2}+4}\cdot\frac{1}{s^{2}+4}.
Escolhi essa fatoração porque \dfrac{s}{s^{2}+4} e \dfrac{1}{s^{2}+4} têm antitransformadas simples.
Agora identifico as antitransformadas:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{s^{2}+4}\right\}=\cos(2t),
pois \mathcal{L}\{\cos(2t)\}=\dfrac{s}{s^{2}+2^{2}}.
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}+4}\right\}=\frac{1}{2}\sin(2t),
pois \mathcal{L}\{\sin(2t)\}=\dfrac{2}{s^{2}+4}, então multiplicando por 1/2 obtém-se \dfrac{1}{s^{2}+4}.
Portanto, no teorema temos f_1(t)=\cos(2t) e f_2(t)=\tfrac{1}{2}\sin(2t).

Passo 4

Aplicando a definição de convolução:
f(t)= (f_1 * f_2)(t) = \int_{0}^{t} \cos(2\tau)\cdot\frac{1}{2}\sin\big(2(t-\tau)\big)\,d\tau.
Coloco o fator 1/2 fora da integral:
f(t)=\frac{1}{2}\int_{0}^{t} \cos(2\tau)\,\sin\big(2t-2\tau\big)\,d\tau.

Passo 5

Agora calculo a integral passo a passo. Uso a identidade de seno da diferença:
\sin(2t-2\tau)=\sin(2t)\cos(2\tau)-\cos(2t)\sin(2\tau).
Substituindo na integral:
f(t)=\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\cos(2\tau)\big[\sin(2t)\cos(2\tau)-\cos(2t)\sin(2\tau)\big]\,d\tau.
Distribuo:
f(t)=\frac{1}{2}\left[\sin(2t)\int_{0}^{t}\cos^{2}(2\tau)\,d\tau-\cos(2t)\int_{0}^{t}\cos(2\tau)\sin(2\tau)\,d\tau\right].

Passo 6

Calculo as duas integrais separadamente usando identidades trigonométricas:
  1. Para \cos^{2}(2\tau) uso \cos^{2}x=\dfrac{1+\cos(2x)}{2}, com x=2\tau:
\cos^{2}(2\tau)=\frac{1+\cos(4\tau)}{2}.
Logo
\int_{0}^{t}\cos^{2}(2\tau)\,d\tau=\frac{1}{2}\int_{0}^{t}1\,d\tau+\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\cos(4\tau)\,d\tau =\frac{t}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin(4\tau)}{4}\Big|_{0}^{t} =\frac{t}{2}+\frac{\sin(4t)}{8}.
  1. Para \cos(2\tau)\sin(2\tau) uso \sin(2x)=2\sin x\cos x ou diretamente \cos x\sin x=\dfrac{1}{2}\sin(2x). Aqui:
\cos(2\tau)\sin(2\tau)=\frac{1}{2}\sin(4\tau).
Então
\int_{0}^{t}\cos(2\tau)\sin(2\tau)\,d\tau=\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\sin(4\tau)\,d\tau =\frac{1}{2}\left[-\frac{\cos(4\tau)}{4}\right]_{0}^{t} =-\frac{\cos(4t)-1}{8}=\frac{1-\cos(4t)}{8}.

Passo 7

Substituo as integrais em f(t):
f(t)=\frac{1}{2}\left[\sin(2t)\left(\frac{t}{2}+\frac{\sin(4t)}{8}\right)-\cos(2t)\left(\frac{1-\cos(4t)}{8}\right)\right].
Distribuo o \frac{1}{2}:
f(t)=\frac{1}{4}t\sin(2t)+\frac{\sin(2t)\sin(4t)}{16}-\frac{\cos(2t)\big(1-\cos(4t)\big)}{16}.

Passo 8

Mostro que os dois últimos termos se anulam. Use as identidades \sin(4t)=2\sin(2t)\cos(2t) e 1-\cos(4t)=2\sin^{2}(2t).
Compute os termos extras:
\frac{\sin(2t)\sin(4t)}{16}=\frac{\sin(2t)\cdot 2\sin(2t)\cos(2t)}{16}=\frac{\sin^{2}(2t)\cos(2t)}{8},
-\frac{\cos(2t)\big(1-\cos(4t)\big)}{16}=-\frac{\cos(2t)\cdot 2\sin^{2}(2t)}{16}=-\frac{\sin^{2}(2t)\cos(2t)}{8}.
Somando esses dois termos obtemos zero. Portanto sobra apenas o primeiro termo:
f(t)=\frac{1}{4}t\sin(2t).

Passo 9

Como verificação rápida (opcional mas útil na prova), aplico a transformada de Laplace em \dfrac{1}{4}t\sin(2t). Sei que \mathcal{L}\{\sin(2t)\}=\dfrac{2}{s^{2}+4} e que \mathcal{L}\{t\,g(t)\}=-\dfrac{d}{ds}\mathcal{L}\{g(t)\}. Então
\mathcal{L}\{t\sin(2t)\}=-\frac{d}{ds}\left(\frac{2}{s^{2}+4}\right)=\frac{4s}{(s^{2}+4)^{2}}.
Dividindo por 4 obtemos exatamente \dfrac{s}{(s^{2}+4)^{2}}, confirmando que a inversa está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}\,t\sin(2t)

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