\text{função no domínio de }s:\quad \frac{s}{(s^{2}+4)^{2}}.
Objetivo: encontrar a função f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=\dfrac{s}{(s^{2}+4)^{2}}.
Passo 2
Vou usar a Forma Inversa do Teorema da Convolução. Primeiro, lembro o enunciado útil desse teorema:
se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} e G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}, então
onde (f*g)(t) é a convolução de f e g. Vou explicar passo a passo o que isso significa: transformar um produto no domínio de s em uma integral no domínio do tempo. É uma forma prática quando conseguimos escrever a função em s como produto de duas transformadas conhecidas.
Passo 3
Escrevo a função como produto de duas frações conhecidas:
Somando esses dois termos obtemos zero. Portanto sobra apenas o primeiro termo:
f(t)=\frac{1}{4}t\sin(2t).
Passo 9
Como verificação rápida (opcional mas útil na prova), aplico a transformada de Laplace em \dfrac{1}{4}t\sin(2t). Sei que \mathcal{L}\{\sin(2t)\}=\dfrac{2}{s^{2}+4} e que \mathcal{L}\{t\,g(t)\}=-\dfrac{d}{ds}\mathcal{L}\{g(t)\}. Então