Use a Forma Inversa do Teorema de Convolução para encontrar f(t)
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s\left(s^{2}+1\right)}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada inversa de Laplace
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s\left(s^{2}+1\right)}\right\}.
Informações dadas:
\displaystyle \frac{1}{s\left(s^{2}+1\right)} é a função no domínio de s cuja transformada inversa queremos.
O que deve ser entregue: a função f(t) no domínio do tempo (para t\ge0) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=\dfrac{1}{s(s^{2}+1)}.

Passo 2

Explicando a ferramenta que vamos usar (Forma Inversa do Teorema da Convolução).
O Teorema da Convolução diz que, para duas funções de tempo g(t) e h(t) (causais, definidas para t\ge0),
\mathcal{L}\{(g*h)(t)\} = G(s)\,H(s),
onde G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\} e H(s)=\mathcal{L}\{h(t)\}, e a convolução (g*h)(t) é definida por
(g*h)(t)=\int_{0}^{t} g(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau.
A “Forma Inversa” do teorema é a observação: se temos um produto G(s)H(s), então
\mathcal{L}^{-1}\{G(s)H(s)\} = (g*h)(t).
Na fórmula acima \tau é a variável de integração (tempo passado) e t-\tau corresponde ao tempo restante; isso garante que a convolução combina valores passados de uma função com valores atuais da outra.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso problema: escrevemos
\frac{1}{s\left(s^{2}+1\right)} = G(s)\,H(s)
com uma escolha natural
G(s)=\frac{1}{s},\qquad H(s)=\frac{1}{s^{2}+1}.
Agora precisamos das transformadas inversas simples de cada um:
  • \mathcal{L}^{-1}\{1/s\}=1 (a função constante unitária para t\ge0, ou passo de Heaviside). Aqui explicitamente g(t)=1 para t\ge0.
  • \mathcal{L}^{-1}\{1/(s^{2}+1)\}=\sin t. Aqui h(t)=\sin t para t\ge0.
    Eu explico por que rapidamente: \mathcal{L}\{1\}=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt = 1/s (para \Re(s)>0) e \mathcal{L}\{\sin t\}=1/(s^{2}+1).

Passo 4

Pela Forma Inversa do Teorema da Convolução, a transformada inversa procurada é a convolução de g(t)=1 com h(t)=\sin t:
f(t)=(g*h)(t)=\int_{0}^{t} g(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau.
Substituindo g(\tau)=1 e h(t-\tau)=\sin(t-\tau), fica
f(t)=\int_{0}^{t} 1\cdot \sin(t-\tau)\,d\tau=\int_{0}^{t}\sin(t-\tau)\,d\tau.
Aqui explico: a integral percorre todo o passado \tau desde 0 até o tempo atual t, e para cada \tau multiplicamos o valor de g naquele instante passado por h avaliada no intervalo restante t-\tau.

Passo 5

Calculemos a integral. Faço a substituição simples u=t-\tau. Então quando \tau=0 temos u=t e quando \tau=t temos u=0. Também du=-d\tau. Assim
f(t)=\int_{\tau=0}^{\tau=t}\sin(t-\tau)\,d\tau = \int_{u=t}^{u=0}\sin(u)\,(-du) = \int_{0}^{t}\sin(u)\,du.
Agora integramos \sin u:
\int_{0}^{t}\sin(u)\,du = \big[-\cos u\big]_{0}^{t} = -\cos t -(-\cos 0)=1-\cos t.
Portanto, para t\ge0,
f(t)=1-\cos t.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, mas bom para segurança): calculemos a transformada de Laplace de f(t)=1-\cos t para confirmar que volta ao original:
\mathcal{L}\{1-\cos t\} = \mathcal{L}\{1\}-\mathcal{L}\{\cos t\} = \frac{1}{s} - \frac{s}{s^{2}+1}.
Colocando sobre o mesmo denominador:
\frac{1}{s} - \frac{s}{s^{2}+1} = \frac{s^{2}+1}{s(s^{2}+1)} - \frac{s^{2}}{s(s^{2}+1)} = \frac{1}{s(s^{2}+1)},
que é exatamente a função de partida. Então a resposta está correta.

Resposta

f(t)=1-\cos t

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