Use a Forma Inversa do Teorema de Convolução para encontrar
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a transformada inversa de Laplace
Informações dadas:
é a função no domínio de
cuja transformada inversa queremos.
O que deve ser entregue: a função no domínio do tempo (para
) tal que
.
O que deve ser entregue: a função
Passo 2
Explicando a ferramenta que vamos usar (Forma Inversa do Teorema da Convolução).
O Teorema da Convolução diz que, para duas funções de tempo e
(causais, definidas para
),
O Teorema da Convolução diz que, para duas funções de tempo
onde
e
, e a convolução
é definida por
A “Forma Inversa” do teorema é a observação: se temos um produto
, então
Na fórmula acima
é a variável de integração (tempo passado) e
corresponde ao tempo restante; isso garante que a convolução combina valores passados de uma função com valores atuais da outra.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso problema: escrevemos
com uma escolha natural
Agora precisamos das transformadas inversas simples de cada um:
-
(a função constante unitária para , ou passo de Heaviside). Aqui explicitamente para . -
. Aqui para .
Eu explico por que rapidamente:(para ) e .
Passo 4
Pela Forma Inversa do Teorema da Convolução, a transformada inversa procurada é a convolução de
com
:
Substituindo
e
, fica
Aqui explico: a integral percorre todo o passado
desde
até o tempo atual
, e para cada
multiplicamos o valor de
naquele instante passado por
avaliada no intervalo restante
.
Passo 5
Calculemos a integral. Faço a substituição simples
. Então quando
temos
e quando
temos
. Também
. Assim
Agora integramos
:
Portanto, para
,
Passo 6
Verificação rápida (opcional, mas bom para segurança): calculemos a transformada de Laplace de
para confirmar que volta ao original:
Colocando sobre o mesmo denominador:
que é exatamente a função de partida. Então a resposta está correta.