Use a fórmula para o comprimento do arco para mostrar que a circunferência do círculo
é
.
Para simplificar o trabalho, considere o quarto de círculo dado por
, onde
. A função y é diferenciável para qualquer
neste intervalo, exceto para
. Portanto, o comprimento do arco do quarto de círculo é dado pela integral imprópria
.
Para simplificar o trabalho, considere o quarto de círculo dado por
Passo 1
Nesse exercício, a jogada é mostrar que a circunferência do círculo
vale
. O conteúdo que usamos aqui é o comprimento de arco de uma curva
, cuja fórmula é
Para facilitar, vamos só no quarto de círculo dado por
, com
.
Passo 2
Para aplicar a fórmula, precisamos de
. Como
, pela regra da cadeia:
Passo 3
Substituindo em
, temos
Agora simplificamos o integrando:
portanto
Passo 4
Reconhecemos que
Assim, avaliando de 0 a 1:
Passo 5
Como o círculo inteiro tem 4 desses quartos, basta multiplicar por 4:
Resposta
A circunferência do círculo é
.