Use a fórmula para o comprimento do arco para mostrar que a circunferência do círculo x^2+y^2=1 é 2 pi.
Para simplificar o trabalho, considere o quarto de círculo dado por y=raiz1-x^2, onde 0 <= x <= 1. A função y é diferenciável para qualquer x neste intervalo, exceto para x=1. Portanto, o comprimento do arco do quarto de círculo é dado pela integral imprópria integral0^1 raiz1-(y^prime)^2 d x.

Passo 1

Nesse exercício, a jogada é mostrar que a circunferência do círculo x^2 + y^2 = 1 vale 2pi. O conteúdo que usamos aqui é o comprimento de arco de uma curva y=f(x), cuja fórmula é
L = integrala^b raiz1 + (y')^2 ,dx
Para facilitar, vamos só no quarto de círculo dado por y = raiz1 - x^2, com 0 <= x <= 1.

Passo 2

Para aplicar a fórmula, precisamos de y'. Como y = (1 - x^2)^1/2, pela regra da cadeia:
y' = ddx(1 - x^2)^1/2 = 12(1 - x^2)^-1/2cdot(-2x) = -xraiz1 - x^2

Passo 3

Substituindo em L = integral0^1 raiz1 + (y')^2 ,dx, temos
L1/4 = integral0^1 raiz1 + x^21 - x^2 ,dx
Agora simplificamos o integrando:
1 + x^21 - x^2 = 1 - x^2 + x^21 - x^2 = 11 - x^2,
portanto
L1/4 = integral0^1 1raiz1 - x^2 ,dx

Passo 4

Reconhecemos que
integral dxraiz1 - x^2 = arcsin x + C
Assim, avaliando de 0 a 1:
L1/4 = [arcsin x]0^1 = arcsin(1) - arcsin(0) = pi2

Passo 5

Como o círculo inteiro tem 4 desses quartos, basta multiplicar por 4:
Ltotal = 4 times pi2 = 2pi

Resposta

A circunferência do círculo é 2pi.

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