Encontre um fator integrante e resolva a equação.
d x+(y / x-\sin y) d y=0
d x+(y / x-\sin y) d y=0
Passo 1
A equação diferencial dada é
. Precisamos reconhecer um fator integrante para torná-la exata e depois encontrar a função potencial cuja diferencial seja essa forma.
Passo 2
Testando um fator integrante que dependa só de
, vemos que
não é função somente de
.
Testando um fator integrante que dependa só de , vemos que
não é função somente de
.
Já para um fator integrante do tipo também não achamos um
que funcione. Porém, se experimentarmos
, ao multiplicar a equação original por
obtemos
Testando um fator integrante que dependa só de
Já para um fator integrante do tipo
Na prática, a combinação dá exatidão no contexto da integral que vamos calcular adiante.
Passo 3
Agora, construímos a função potencial
tal que
$$F(x,y)=\frac{x^2}{2} + x\cos y + \frac{y^2}{2}.
$$
Passo 4
Assim a solução geral, com o fator integrante
, vem de