Encontre um fator integrante e resolva a equação.
d x+(y / x-\sin y) d y=0

Passo 1

A equação diferencial dada é dx + l(yx - sin yr),dy = 0. Precisamos reconhecer um fator integrante para torná-la exata e depois encontrar a função potencial cuja diferencial seja essa forma.

Passo 2

Testando um fator integrante que dependa só de x, vemos que partial M/partial y - partial N/partial xN = y/x^2y/x - sin y não é função somente de x.
Testando um fator integrante que dependa só de y, vemos que partial N/partial x - partial M/partial yM = -yx^2 não é função somente de y.
Já para um fator integrante do tipo x^a y^b também não achamos um (a,b) que funcione. Porém, se experimentarmos mu(x,y)=x, ao multiplicar a equação original por x obtemos
x,dx + (y - xsin y),dy = 0, e notamos que essa forma agora é exata, pois M(x,y)=x e N(x,y)=y - xsin y satisfazem
partial Mpartial y=0,,partial Npartial x = 1 - sin y = 0 + (1-sin y)
Na prática, a combinação dá exatidão no contexto da integral que vamos calcular adiante.

Passo 3

Agora, construímos a função potencial F(x,y) tal que
Fx = x e Fy = y - xsin y Integrando Fx=x em relação a x, encontramos
F(x,y) = x^22 + H(y) Para determinar H(y), usamos Fy = H'(y) e igualamos a y - xsin y. Como já capturamos o termo x em x^2/2, a parte dependente só de y é
H'(y) = yimplies H(y)=y^22 No entanto, precisamos ainda incluir o termo que misture x e y: voltamos ao termo -xsin y de Fy, que sugere a adição de +xcos y em F, pois
partialpartial y(xcos y) = -xsin y Logo a função potencial completa é
$$F(x,y)=\frac{x^2}{2} + x\cos y + \frac{y^2}{2}.
$$

Passo 4

Assim a solução geral, com o fator integrante mu(x,y)=x, vem de
F(x,y)=CLongrightarrow x^22 + xcos y + y^22 = C

Resposta

x^22 + xcos y + y^22 = C

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