Mostre que a curva
, é plana e está contida no cilindro
Ache a equação do plano que a contém.
Ache a equação do plano que a contém.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a curva definida por
, onde
, é plana e está dentro do cilindro dado pela equação
. Além disso, precisamos encontrar a equação do plano que contém essa curva.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações de cilindros e planos, além de entender o que significa uma curva ser plana.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a curva estar contida no cilindro
. Isso quer dizer que para todo ponto da curva
, as coordenadas
,
e
devem satisfazer essa equação.
Vamos substituir as componentes de
na equação do cilindro:
Simplificando:
Viu? A igualdade é sempre verdadeira, o que confirma que todos os pontos da curva estão no cilindro
.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que a curva é plana. Para isso, precisamos encontrar uma equação de plano que contenha todos os pontos da curva. Um plano pode ser definido por uma equação da forma
.
Vamos usar as componentes de
para descobrir essa equação do plano. Sabemos que toda a curva está no cilindro e queremos encontrar um plano que além de conter a curva, seja tal que todas as suas coordenadas satisfaçam essa equação.
Vamos assumir que o plano tem a forma
, onde
é uma constante. Observando a curva
, vemos que a segunda coordenada é
. Isso varia com
, então essa não é a forma correta. Vamos tentar uma outra abordagem.
Observando a terceira coordenada
, podemos relacionar
e
:
Rearranjando:
Essa é a equação de um plano que relaciona
e
, independente de
. Vamos verificar se todos os pontos da curva satisfazem essa equação:
Viu? Toda a curva satisfaz a equação
, portanto, a curva está contida neste plano.
Resposta
A equação do plano que contém a curva é
.