Mostre que a curva alpha(t)=(raiz4-t^2, t, t+1),-2, é plana e está contida no cilindro x^2+(z-1)^2=4
Ache a equação do plano que a contém.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a curva definida por alpha(t) = (raiz4 - t^2, t, t + 1), onde -2 < t < 2, é plana e está dentro do cilindro dado pela equação x^2 + (z - 1)^2 = 4. Além disso, precisamos encontrar a equação do plano que contém essa curva.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações de cilindros e planos, além de entender o que significa uma curva ser plana.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a curva estar contida no cilindro x^2 + (z - 1)^2 = 4. Isso quer dizer que para todo ponto da curva alpha(t), as coordenadas x, y e z devem satisfazer essa equação.
Vamos substituir as componentes de alpha(t) na equação do cilindro:
x^2 + (z - 1)^2 = (raiz4 - t^2)^2 + ((t + 1) - 1)^2
Simplificando:
4 - t^2 + t^2 = 4
4 = 4
Viu? A igualdade é sempre verdadeira, o que confirma que todos os pontos da curva estão no cilindro x^2 + (z - 1)^2 = 4.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que a curva é plana. Para isso, precisamos encontrar uma equação de plano que contenha todos os pontos da curva. Um plano pode ser definido por uma equação da forma Ax + By + Cz + D = 0.
Vamos usar as componentes de alpha(t) para descobrir essa equação do plano. Sabemos que toda a curva está no cilindro e queremos encontrar um plano que além de conter a curva, seja tal que todas as suas coordenadas satisfaçam essa equação.
Vamos assumir que o plano tem a forma y = k, onde k é uma constante. Observando a curva alpha(t), vemos que a segunda coordenada é y = t. Isso varia com t, então essa não é a forma correta. Vamos tentar uma outra abordagem.
Observando a terceira coordenada z = t + 1, podemos relacionar y e z:
z = y + 1
Rearranjando:
z - y - 1 = 0
Essa é a equação de um plano que relaciona y e z, independente de x. Vamos verificar se todos os pontos da curva satisfazem essa equação:
z - y - 1 = (t + 1) - t - 1 = 0
Viu? Toda a curva satisfaz a equação z - y - 1 = 0, portanto, a curva está contida neste plano.

Resposta

A equação do plano que contém a curva é z - y - 1 = 0.

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