Use a fórmula integral de Cauchy para calcular as integrais descritas nos Exercs. 1 a 13, onde os contornos são todos percorridos no sentido anti-horário.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma integral complexa que precisamos resolver usando a fórmula integral de Cauchy. O enunciado nos pede para calcular a integral:
Então, vamos precisar entender sobre funções analíticas, contornos no plano complexo e como aplicar a fórmula de Cauchy para resolver integrais desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador da fração: $ z^{2} - 4 $. Isso pode ser fatorado como $ (z - 2)(z + 2) $, o que significa que temos dois pontos singulares (onde a função não é analítica) em $ z = 2 $ e $ z = -2 $.
Passo 3
Agora, vamos entender o contorno da integração: $ |z - 1| = 2 $. Isso representa um círculo no plano complexo com centro em $ z = 1 $ e raio 2. Precisamos verificar quais dos pontos singulares estão dentro desse círculo.
Passo 4
Calculando a distância de cada ponto singular ao centro do círculo:
- Para $ z = 2 $: $ |2 - 1| = 1 $ (dentro do círculo)
- Para $ z = -2 $: $ |-2 - 1| = 3 $ (fora do círculo)
Então, somente $ z = 2 $ está dentro do contorno de integração.
Passo 5
A fórmula integral de Cauchy nos diz que, se $ f(z) $ é analítica dentro e sobre um contorno fechado $ C $, então:
Aqui, podemos reescrever a nossa integral para se adequar a essa fórmula. Vamos separar a fração:
Como $ z = -2 $ está fora do contorno, podemos considerar $ f(z) = \frac{e^{z}}{z + 2} $, que é analítica dentro do contorno.
Passo 6
Aplicando a fórmula de Cauchy:
Onde $ f(2) = \frac{e^{2}}{2 + 2} = \frac{e^{2}}{4} $.
Passo 7
Substituindo $ f(2) $ na expressão:
Resposta
A integral vale $ \frac{\pi i e^{2}}{2} $.