Use a fórmula de De Moivre para calcular:
\left[2 \operatorname{cis}\left(\frac{\pi}{3}\right)\right]^{4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\bigl[2\cis\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)\bigr]^4
usando a fórmula de De Moivre. Vamos precisar da forma polar de um número complexo r\cis\theta e do fato de que \cis\theta=\cos\theta+i\sin\theta.

Passo 2

A fórmula de De Moivre afirma que, para qualquer inteiro n,
(r\cis\theta)^n = r^n \cis(n\theta).

Passo 3

Aqui temos r=2 e \theta=\pi/3. Aplicando a fórmula:
\bigl[2\cis(\tfrac{\pi}{3})\bigr]^4 = 2^4 \cis\bigl(4\cdot\tfrac{\pi}{3}\bigr) = 16 \cis\bigl(\tfrac{4\pi}{3}\bigr).

Passo 4

Para converter para a forma a+bi, usamos
\cos\bigl(\tfrac{4\pi}{3}\bigr) = -\tfrac12, \quad \sin\bigl(\tfrac{4\pi}{3}\bigr) = -\tfrac{\sqrt3}{2}.
Logo,
16\cis\bigl(\tfrac{4\pi}{3}\bigr) =16\bigl(\cos\tfrac{4\pi}{3}+i\sin\tfrac{4\pi}{3}\bigr) =16\Bigl(-\tfrac12 - i\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr) =-8 - 8\sqrt{3}\,i.

Resposta

-8 - 8\sqrt{3}\,i

Exercícios relacionados