Seja z=5-2 i.
(a) Calcule o conjugado de z.
(b) Calcule o módulo de z.
(c) Verifique se z \cdot \bar{z}=|z|^{2}.
(d) Determine se o número resultante é real e não negativo.

Passo 1

O enunciado dá o número complexo z=5-2i e pede: (a) o conjugado de z, (b) o módulo de z, (c) verificar se z\cdot\bar{z}=|z|^{2} e (d) dizer se esse produto é real e não negativo. Vamos usar que, para z=x+yi, o conjugado é \bar{z}=x-yi e o módulo é |z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 2

Para achar o conjugado escrevemos z na forma x+yi com x=5 e y=-2. Logo,
\bar{z}=x-yi=5-(-2)i=5+2i.

Passo 3

Para calcular o módulo extraímos as partes real e imaginária:
|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{5^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}.

Passo 4

Agora vamos ao produto
z\cdot\bar{z}=(5-2i)(5+2i)=5^{2}-(2i)^{2}=25-4(i^{2})=25-4(-1)=25+4=29.
Por outro lado,
|z|^{2}=(\sqrt{29})^{2}=29.
Portanto, fica confirmado que z\cdot\bar{z}=|z|^{2}.

Passo 5

O valor obtido é 29, que é claramente um número real e não negativo.

Resposta

(a) \bar{z}=5+2i
(b) |z|=\sqrt{29}
(c) z\cdot\bar{z}=29=|z|^{2}
(d) O número resultante é real e não negativo.

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