Use a fórmula de redução para provar que:
integral x^n cos x d x=x^n sen x-n integral x^n-1 sen x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar uma identidade envolvendo integrais e funções trigonométricas. A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo Integral, mais especificamente a fórmula de redução. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como aplicar a integração por partes, que é a chave para derivar essa fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da integração por partes, que é baseada na regra do produto da derivada. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher o que será $ u $ e o que será $ dv $ na nossa integral $ \int x^{n} \cos x , dx $.

Passo 3

Vamos escolher:
  • $ u = x^{n} $ (assim, vamos derivar isso para obter $ du $)
  • $ dv = \cos x , dx $ (e então vamos integrar isso para encontrar $ v $)

Passo 4

Agora, vamos calcular $ du $ e $ v $:
  • Derivando $ u $: $ du = n x^{n-1} , dx $
  • Integrando $ dv $: $ v = \int \cos x , dx = \sin x $

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x^n cos x , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x^n cos x , dx = x^n sin x - integral sin x cdot n x^n-1 , dx

Passo 6

Vamos simplificar essa última integral:
integral x^n cos x , dx = x^n sin x - n integral x^n-1 sin x , dx

Resposta

Pronto! Assim, provamos que:
integral x^n cos x , dx = x^n sin x - n integral x^n-1 sin x , dx

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