Use a fórmula de redução para provar que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar uma identidade envolvendo integrais e funções trigonométricas. A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo Integral, mais especificamente a fórmula de redução. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como aplicar a integração por partes, que é a chave para derivar essa fórmula.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da integração por partes, que é baseada na regra do produto da derivada. A fórmula é:
Aqui, precisamos escolher o que será $ u $ e o que será $ dv $ na nossa integral $ \int x^{n} \cos x , dx $.
Passo 3
Vamos escolher:
- $ u = x^{n} $ (assim, vamos derivar isso para obter $ du $)
- $ dv = \cos x , dx $ (e então vamos integrar isso para encontrar $ v $)
Passo 4
Agora, vamos calcular $ du $ e $ v $:
- Derivando $ u $: $ du = n x^{n-1} , dx $
- Integrando $ dv $: $ v = \int \cos x , dx = \sin x $
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Vamos simplificar essa última integral:
Resposta
Pronto! Assim, provamos que: