Determine se cada integral é divergente ou convergente. Calcule o valor daquela(s) que for(em) convergente(s).
integral1 2(x-3)^4

Passo 1

Temos uma integral imprópria com singularidade em x=3 e limite superior infinito, ou seja, estamos no conteúdo de avaliação de convergência de integrais impróprias do tipo p-integral.

Passo 2

Para estudar a convergência, dividimos a integral em duas partes em torno da descontinuidade em x=3:
$$\int_{1}{3}\frac{2}{(x-3){4}},dx ;+
\int_{3}{\infty}\frac{2}{(x-3){4}},dx.$$
Devemos analisar cada parte separadamente.

Passo 3

Na porção integral1^32(x-3)^4,dx, fazemos a mudança de variável t=3-x. Então quando xto3^-, temos tto0^+, e a integral, em módulo, fica
integral0^+^22t^4,dt
Esse é um p-integral com p=4>=1, que é divergente perto de zero.

Passo 4

Como já temos divergência na parte de x próximo a 3, não é necessário examinar a região em xtoinfty. Portanto a integral imprópria diverge.

Resposta

A integral é divergente.

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