Use a fórmula da variação de parâmetros para encontrar uma solução geral do sistema.
X^prime=(cc2 & -1 4 & 1) X+binomsen 2 t2 cos 2 t e^2 t

Passo 1

Temos o sistema X'=A X+ f(t)e^2t com
A=2&-14&1, f(t)=sin2t2cos2t
O conteúdo aqui é variação de parâmetros para sistemas lineares: primeiro achamos a solução geral do homogêneo e depois uma particular.

Passo 2

Para o homogêneo X'=A X a equação característica é
r^2-3r+6=0Rightarrow r=tfrac32pm itfracraiz152
Isso gera duas soluções reais independentes:
X1(t)=e^tfrac32tcosraiz152t[4pt] tfrac12cosraiz152t+tfracraiz152sinraiz152t, X2(t)=e^tfrac32tsinraiz152t[4pt] tfrac12sinraiz152t-tfracraiz152cosraiz152t
Logo a solução geral do homogêneo é Xh=C1 X1+C2 X2.

Passo 3

Para achar uma solução particular, reduzimos o sistema a uma só equação para x1. Da primeira linha,
x2=2x1+sin2t,e^2t-x1'
Substituindo em ambas as equações e eliminando x2, obtemos
x1''-3x1'+6x1=e^2tsin2t
Tentamos x1p=e^2t(Asin2t+Bcos2t). Calculando e substituindo, chegamos a
-2B=1,2A=0Rightarrow A=0,;B=-tfrac12
Logo
x1p=-tfrac12e^2tcos2t

Passo 4

Usando x2=2x1+sin2t,e^2t-x1', computamos para a parte particular:
x2p=2l(-tfrac12e^2tcos2tr)+e^2tsin2t-l(-e^2tcos2t+e^2tsin2tr)=0
Assim a solução particular do sistema é
-tfrac12e^2tcos2t0

Passo 5

A solução geral do sistema é a soma da homogênea com a particular:
X(t)=C1 X1(t)+C2 X2(t)+-tfrac12e^2tcos2t0

Resposta

\displaystyle
\mathbf X(t)=C_1e^{\tfrac32t} cosraiz152t[4pt] tfrac12cosraiz152t+tfracraiz152sinraiz152t
  • C_2e^{\tfrac32t} sinraiz152t[4pt] tfrac12sinraiz152t-tfracraiz152cosraiz152t
    + -tfrac12e^2tcos2t0.

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