Use a fórmula da variação de parâmetros para encontrar uma solução geral do sistema.
Passo 1
Temos o sistema
com
O conteúdo aqui é variação de parâmetros para sistemas lineares: primeiro achamos a solução geral do homogêneo e depois uma particular.
Passo 2
Para o homogêneo
a equação característica é
Isso gera duas soluções reais independentes:
Logo a solução geral do homogêneo é
Xh=C1 X1+C2 X2 .
Passo 3
Para achar uma solução particular, reduzimos o sistema a uma só equação para
x1 . Da primeira linha,
Substituindo em ambas as equações e eliminando
x2 , obtemos
Tentamos
x1p=e^2t(Asin2t+Bcos2t) . Calculando e substituindo, chegamos a
Logo
Passo 4
Usando
x2=2x1+sin2t,e^2t-x1' , computamos para a parte particular:
Assim a solução particular do sistema é
-tfrac12e^2tcos2t0
Passo 5
A solução geral do sistema é a soma da homogênea com a particular:
Resposta
\displaystyle
\mathbf X(t)=C_1e^{\tfrac32t}
cosraiz152t[4pt] tfrac12cosraiz152t+tfracraiz152sinraiz152t
- C_2e^{\tfrac32t}
sinraiz152t[4pt] tfrac12sinraiz152t-tfracraiz152cosraiz152t
+ .-tfrac12e^2tcos2t0