Use a função degrau
Passo 1
O enunciado fornece a função peça‑a‑peça
e pede a transformada de Laplace de
usando a função degrau. Informações relevantes: o ponto de descontinuidade é
e, para
, a função é
. A tarefa é escrever
com
e calcular
.]
Passo 2
Definição e propriedade útil da função degrau: a função degrau deslocada é
Uma escrita conveniente para funções que “começam” em
é
, ou seja, para
usamos o argumento deslocado
. A propriedade fundamental para transformada de Laplace (teorema do deslocamento no tempo) que vamos usar é:
válida para
suficientemente grande (tipicamente
neste caso). Intuição curta: deslocar no tempo corresponde a multiplicar por
no domínio de
.]
Passo 3
Escrevemos
usando a degrau em
. Para
a função é
, e nula antes disso; portanto
Aqui podemos identificar
e
, de modo que
.
Passo 4
Pelo teorema do deslocamento no tempo, a transformada de
é
Então precisamos apenas calcular
.
Passo 5
Cálculo de
. Defina
para
. Fazemos integração por partes duas vezes (com atenção aos termos de contorno):
Primeira integração por partes: escolha
e
. Então
e
. Assim
O termo de contorno vale zero porque
quando
e
. Logo
onde definimos
Segunda integração por partes para
: escolha
e
. Então
e
. Assim
O termo de contorno dá
. Portanto
Agora substituímos
na expressão
:
Isolando
obtemos
ou seja
Portanto
Passo 6
Voltando ao passo do deslocamento, aplicamos o teorema com
e
. Assim a transformada de
é
com região de convergência
.