e pede a transformada de Laplace de f(t). As informações relevantes são:
f(t)=0 para 0\le t<2.
f(t)=t-2 para t\ge2.
Devemos usar a função degrau u_{c}(t) (o que sugere escrever f usando um deslocamento no tempo).
Não vou resolver aqui — só deixei claro o que é pedido e os dados do problema.
Passo 2
Vamos reescrever f(t)\) com a função degrau. A definição da função degrau é
\[u_{c}(t)=\begin{cases}0, & t<c,\\\\ 1, & t\ge c.\end{cases}
Como f(t)=0\] para \(t<2 e f(t)=t-2 para t\ge2, podemos escrever
f(t)=(t-2)\,u_{2}(t).
Explicando: quando t<2 temos u_{2}(t)=0 e então f(t)=0; quando t\ge2 temos u_{2}(t)=1 e f(t)=t-2. Essa representação é exatamente a mesma função, só mais conveniente para usar propriedades da transformada de Laplace.
comumente exigindo s>0 para convergência nesse tipo de função.
Usaremos a propriedade de deslocamento no tempo (teorema do degrau): se g(t) tem transformada \mathcal{L}\{g(t)\}(s)=G(s), então
para a\ge0. A ideia da prova rápida dessa propriedade: calcular a integral da definição e fazer a mudança de variável \tau=t-a, o que traz o fator e^{-as} para fora da integral.
Passo 4
Identificamos f(t) na forma do teorema com a=2 e g(t)=t, pois
O termo \left.-\dfrac{t e^{-st}}{s}\right|_{0}^{\infty}=0 para s>0 porque t e^{-st}\to0 quando t\to\infty. A segunda integral é \dfrac{1}{s}\cdot\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{s^{2}}. Logo
Fazendo a substituição v=t-2 dá \int_{0}^{\infty} v e^{-s(v+2)}dv=e^{-2s}\int_{0}^{\infty} v e^{-sv}dv, e já sabemos \int_{0}^{\infty} v e^{-sv}dv=1/s^{2}. Resultado igual ao acima.