Use funções hiperbólicas para parametrizar a interseção das superfíies
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas superfícies: a equação hiperbólica $ x^2 - y^2 = 4 $ e a superfície $ z = xy $. Nosso objetivo é encontrar uma parametrização para a interseção dessas duas superfícies usando funções hiperbólicas. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções hiperbólicas e como elas podem ser usadas para parametrizar hipérboles.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na equação $ x^2 - y^2 = 4 $. Essa é a equação de uma hipérbole. As funções hiperbólicas que geralmente parametrizeiam uma hipérbole do tipo $ x^2 - y^2 = a^2 $ são $ x = a \cosh(t) $ e $ y = a \sinh(t) $, onde $ t $ é o parâmetro. No nosso caso, $ a^2 = 4 $, então $ a = 2 $.
Passo 3
Agora, substituindo $ a = 2 $ nas funções hiperbólicas, temos:
Essas equações vão nos dar os valores de $ x $ e $ y $ que satisfazem a equação da hipérbole para qualquer valor de $ t $.
Passo 4
Com $ x $ e $ y $ parametrizados, vamos usar a segunda equação da superfície para encontrar $ z $. Sabemos que $ z = xy $, então substituindo as expressões que encontramos:
Passo 5
Podemos simplificar a expressão de $ z $ usando uma identidade das funções hiperbólicas. Sabemos que $ \sinh(2t) = 2 \sinh(t) \cosh(t) $, então:
Isso simplifica a nossa parametrização para $ z $.
Resposta
A parametrização da interseção das superfícies $ x^2 - y^2 = 4 $ e $ z = xy $ usando funções hiperbólicas é:
onde $ t $ é um parâmetro real.