Parametrize a interseção das superfícies
y^2-z^2=x-2, y^2+z^2=9
usando t=y como parâmetro.

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar a curva dada pela interseção das superfícies
y^2-z^2=x-2,
y^2+z^2=9
usando t=y como parâmetro. O conteúdo aqui é curva de interseção de superfícies e vamos precisar isolar z e x em função de t, de modo a obter uma parametrização r(t)=(x(t),y(t),z(t)).

Passo 2

Da segunda superfície
y^2+z^2=9
substituindo y=t temos
z^2=9-t^2
e, portanto,
z=pmraiz9-t^2
Isso vem da equação de uma circunferência de raio 3 no plano yz.

Passo 3

Da primeira superfície
y^2-z^2=x-2
isolamos x:
x=2+y^2-z^2
Substituindo y=t e z^2=9-t^2 resulta
x=2+t^2-(9-t^2)=2t^2-7

Passo 4

Juntando tudo, a parametrização da curva de interseção é
r(t)=l(x(t),y(t),z(t)r)=l(2t^2-7,,t,,pmraiz9-t^2r),
com tin[-3,3]. Cada escolha do sinal “ +” ou “ -” dá um dos dois ramos da curva.

Resposta

r(t)=l(2t^2-7,,t,,pmraiz9-t^2r), tin[-3,3]

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