Seja C a curva dada por r(t)=lang<= t cos t, t sin t, t rang<=.
Mostre que C é uma curva no cone x^2+y^2=z^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o lugar geométrico dos pontos da curva r(t)=lang<= tcos t,,tsin t,,trang<= satisfaz a equação do cone x^2+y^2=z^2. Vamos usar os componentes x(t),y(t),z(t) e verificar essa igualdade.

Passo 2

Calculemos a soma dos quadrados de x(t) e y(t):
x(t)^2 + y(t)^2 = (tcos t)^2 + (tsin t)^2
Fatorando t^2 e usando que cos^2 t + sin^2 t = 1, temos

Passo 3

Como
(tcos t)^2 + (tsin t)^2 = t^2(cos^2 t + sin^2 t) = t^2,
e z(t)=t implica z(t)^2=t^2, concluímos que
x(t)^2 + y(t)^2 = z(t)^2
Isso mostra que todos os pontos da curva satisfazem a equação do cone.

Resposta

A curva r(t)=lang<= tcos t,,tsin t,,trang<= satisfaz x^2+y^2=z^2, logo está contida no cone.

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