Analise a convergência das seguintes séries:
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
Informações dadas e observações iniciais:
- Os termos são positivos:
para todo . - A pergunta é se a soma infinita converge (tem valor finito) ou diverge.
Passo 2
Vamos lembrar um resultado básico útil (dou a aula rapidinha aqui): a série geométrica com razão
converge e seu valor é
No nosso caso, a série
é geométrica com
, logo
Isso significa que
é uma série convergente e vale
. Guarda isso: vamos comparar com ela.
Passo 3
Aplico o teste da comparação (explico o teste): se
para toda
e
converge, então
também converge. Aqui temos, para todo
,
Como já vimos que
converge, pela comparação direta segue que
também converge. Como todos os termos são não negativos, a convergência é, na prática, absoluta (a questão de “absoluta” é trivial para séries de termos não negativos).
Passo 4
Para te dar uma intuição numérica e mostrar que a série está bem contida entre dois valores finitos, podemos também construir uma desigualdade abaixo (opcional, mas didática). Para
temos
, logo
Somando em
de
ao infinito obtemos a desigualdade entre somas:
Como
, a soma inferior é
Portanto temos o encadeamento
o que confirma que a soma é um número finito entre
e
.
Passo 5
Resumo didático prático para a prova: mostre que
e invoque o teste da comparação com a série geométrica
que converge. Isso é suficiente para concluir convergência.
Resposta
A série converge (convergência absoluta).
Além disso, .
Além disso,