Analise a convergência das seguintes séries:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2+3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2+3^{n}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • Os termos são positivos: \frac{1}{2+3^{n}}>0 para todo n\ge 1.
  • A pergunta é se a soma infinita converge (tem valor finito) ou diverge.

Passo 2

Vamos lembrar um resultado básico útil (dou a aula rapidinha aqui): a série geométrica com razão |r|<1
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}
converge e seu valor é
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r}.
No nosso caso, a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n}} é geométrica com r=\frac{1}{3}, logo
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n}}=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1/3}{2/3}=\frac{1}{2}.
Isso significa que \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n}} é uma série convergente e vale 1/2. Guarda isso: vamos comparar com ela.

Passo 3

Aplico o teste da comparação (explico o teste): se 0\le a_n\le b_n para toda n e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge. Aqui temos, para todo n\ge 1,
2+3^{n}\ge 3^{n}\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{2+3^{n}}\le \frac{1}{3^{n}}.
Como já vimos que \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}} converge, pela comparação direta segue que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2+3^{n}}
também converge. Como todos os termos são não negativos, a convergência é, na prática, absoluta (a questão de “absoluta” é trivial para séries de termos não negativos).

Passo 4

Para te dar uma intuição numérica e mostrar que a série está bem contida entre dois valores finitos, podemos também construir uma desigualdade abaixo (opcional, mas didática). Para n\ge 1 temos 3^{n}\ge 3>2, logo
2+3^{n}\le 3^{n}+3^{n}=2\cdot 3^{n}\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{2+3^{n}}\ge \frac{1}{2\cdot 3^{n}}.
Somando em n de 1 ao infinito obtemos a desigualdade entre somas:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2\cdot 3^{n}}\le \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2+3^{n}}\le \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}.
Como \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}=\frac{1}{2}, a soma inferior é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2\cdot 3^{n}}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.
Portanto temos o encadeamento
\frac{1}{4}\le \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2+3^{n}}\le \frac{1}{2},
o que confirma que a soma é um número finito entre 1/4 e 1/2.

Passo 5

Resumo didático prático para a prova: mostre que \frac{1}{2+3^{n}}\le\frac{1}{3^{n}} e invoque o teste da comparação com a série geométrica \sum \frac{1}{3^{n}} que converge. Isso é suficiente para concluir convergência.

Resposta

A série converge (convergência absoluta).
Além disso, \dfrac{1}{4}\le \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2+3^{n}}\le \dfrac{1}{2}.

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