Use integração dupla para calcular o volume do sólido
indicado. Faça um esboço para entender os limites de integração.
é o sólido do primeiro octante limitado pelo paraboloide
;
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido
que está no primeiro octante (ou seja,
,
,
) e é limitado pelo paraboloide \r
O conteúdo principal aqui é integração dupla em coordenadas cartesianas ou, mais convenientemente, em coordenadas polares, para calcular \r
onde
é a projeção de
no plano
. Vamos precisar também de um esboço de
para entender os limites.
Passo 2
A projeção
no plano
é dada por \r
ou seja \r
que é um setor circular de raio
ocupando o primeiro quadrante. Um esboço mostra um quarto de disco de raio
.
Passo 3
Para aproveitar a simetria circular, trocamos para coordenadas polares: \r
No primeiro quadrante temos
variando de
a
e
de
a
.
Passo 4
Em polares a função a integrar fica \r
logo o volume é \r
Passo 5
Calculemos primeiro a integral em
: \r
Passo 6
Agora integramos em
: \r