Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide elíptico \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}+z=1 \mathrm{e} acima do retângulo R=[-1,2] \times[-2,2].

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que fica sob o paraboloide
z = 1 - \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9}
e “projetado” verticalmente sobre o retângulo
R = \{(x,y)\mid -1 \le x \le 2,\;-2 \le y \le 2\}.
Em cálculo de várias variáveis, quando não há outra superfície de base, entendemos que a base do sólido é a região R no plano xy (isto é, a “altura” em z vai de z=0 até o paraboloide). Como a função pode ficar negativa em parte de R, entendeu-se aqui tratar o problema de forma direta como volume calculado pela integral dupla de z sobre R:
V = \iint_{R} \Bigl(1 - \tfrac{x^{2}}{4} - \tfrac{y^{2}}{9}\Bigr)\,dA.

Passo 2

Escrevemos explicitamente a integral iterada, integrando primeiro em y (mais fácil, pois o integrando é soma de termos em x e y separados):
V = \int_{x=-1}^{2}\!\int_{y=-2}^{2}\Bigl(1 - \tfrac{x^{2}}{4} - \tfrac{y^{2}}{9}\Bigr)\,dy\,dx.

Passo 3

Calcule a integral interna em y:
\int_{y=-2}^{2}\Bigl(1 - \tfrac{x^{2}}{4} - \tfrac{y^{2}}{9}\Bigr)\,dy = \int_{-2}^{2}1\,dy \;-\;\frac{x^{2}}{4}\int_{-2}^{2}1\,dy \;-\;\frac{1}{9}\int_{-2}^{2}y^{2}\,dy.
Agora,
\int_{-2}^{2}1\,dy = 4,\quad \int_{-2}^{2}y^{2}\,dy = 2\cdot\frac{2^{3}}{3}=\frac{16}{3}.
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\int_{-2}^{2}\Bigl(1 - \tfrac{x^{2}}{4} - \tfrac{y^{2}}{9}\Bigr)\,dy = 4 \;-\;\frac{x^{2}}{4}\,4 \;-\;\frac{1}{9}\,\frac{16}{3} = 4 - x^{2} - \frac{16}{27} = \frac{92}{27} - x^{2}.

Passo 4

Substitua na integral em x:
V = \int_{x=-1}^{2}\Bigl(\tfrac{92}{27}-x^{2}\Bigr)\,dx = \frac{92}{27}\int_{-1}^{2}1\,dx \;-\;\int_{-1}^{2}x^{2}\,dx.
Temos
\int_{-1}^{2}1\,dx = 3, \quad \int_{-1}^{2}x^{2}\,dx = \Bigl[\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{-1}^{2} = \frac{2^{3}}{3}-\frac{(-1)^{3}}{3} = \frac{8}{3} - \bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr) = 3.
Portanto
V = \frac{92}{27}\cdot 3 \;-\; 3 = \frac{92}{9} - 3 = \frac{92 - 27}{9} = \frac{65}{9}.

Resposta

V = \frac{65}{9}.

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