Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide elíptico
acima do retângulo
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que fica sob o paraboloide
e “projetado” verticalmente sobre o retângulo
Em cálculo de várias variáveis, quando não há outra superfície de base, entendemos que a base do sólido é a região
no plano
(isto é, a “altura” em
vai de
até o paraboloide). Como a função pode ficar negativa em parte de
, entendeu-se aqui tratar o problema de forma direta como volume calculado pela integral dupla de
sobre
:
Passo 2
Escrevemos explicitamente a integral iterada, integrando primeiro em
(mais fácil, pois o integrando é soma de termos em
e
separados):
Passo 3
Calcule a integral interna em
:
Agora,
Logo
Passo 4
Substitua na integral em
:
Temos
Portanto