Use integração dupla para calcular o volume do sólido S indicado. Faça um esboço para entender os limites de integração.
S é o sólido do primeiro octante limitado pelo paraboloide z=9-x^{2}-y^{2};

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido S que está no primeiro octante (ou seja, x\ge0, y\ge0, z\ge0) e é limitado pelo paraboloide \r
z = 9 - x^2 - y^2.\r
O conteúdo principal aqui é integração dupla em coordenadas cartesianas ou, mais convenientemente, em coordenadas polares, para calcular \r
V = \iint_{D} (9 - x^2 - y^2)\,dA\r
onde D é a projeção de S no plano xy. Vamos precisar também de um esboço de D para entender os limites.

Passo 2

A projeção D no plano xy é dada por \r
x\ge0,\quad y\ge0,\quad 9 - x^2 - y^2 \ge 0\r
ou seja \r
D = \{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x^2+y^2\le9\},\r
que é um setor circular de raio 3 ocupando o primeiro quadrante. Um esboço mostra um quarto de disco de raio 3.

Passo 3

Para aproveitar a simetria circular, trocamos para coordenadas polares: \r
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta.\r
No primeiro quadrante temos \theta variando de 0 a \tfrac\pi2 e r de 0 a 3.

Passo 4

Em polares a função a integrar fica \r
9 - x^2 - y^2 = 9 - r^2,\r
logo o volume é \r
V = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{3}(9 - r^2)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calculemos primeiro a integral em r: \r
\int_{0}^{3}(9r - r^3)\,dr = \left[\frac{9}{2}r^2 - \frac{1}{4}r^4\right]_{0}^{3} = \frac{9}{2}\cdot 9 - \frac{1}{4}\cdot 81 = \frac{81}{2} - \frac{81}{4} = \frac{81}{4}.

Passo 6

Agora integramos em \theta: \r
V = \int_{0}^{\pi/2}\frac{81}{4}\,d\theta = \frac{81}{4}\,\Bigl[\theta\Bigr]_{0}^{\pi/2} = \frac{81}{4}\cdot \frac{\pi}{2} = \frac{81\pi}{8}.

Resposta

V = \frac{81\pi}{8}.

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