Use a integração por partes para calcular a integral dada:
\int x^{3} e^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{3} e^{x}\, dx,
usando integração por partes. Informações relevantes dadas: a função integranda é o produto de um polinômio x^{3} e a exponencial e^{x}. Espera-se uma primitiva geral, então devemos incluir a constante de integração C.

Passo 2

Explicando o método (integração por partes) de forma simples: a fórmula básica é
\int u\, dv = uv - \int v\, du.
Aqui u e dv são escolhas que fazemos para decompor a integranda; du é a diferencial de u (ou seja, du = u' dx) e v é uma primitiva de dv (ou seja, v' = dv/dx). A ideia é escolher u de modo que du seja “mais simples” e escolher dv de modo que consigamos integrar e obter v facilmente. No caso de polinômios multiplicados por e^{x}, uma boa escolha é sempre tomar o polinômio como u, porque sua derivada reduz o grau do polinômio, e e^{x} é fácil de integrar (a primitiva de e^{x} é e^{x} de novo).

Passo 3

Primeira aplicação da fórmula: escolho
u = x^{3},\qquad dv = e^{x}\,dx.
Então
du = 3x^{2}\,dx,\qquad v = e^{x}.
Aplicando integração por partes:
\int x^{3} e^{x}\,dx = uv - \int v\,du = x^{3}e^{x} - \int e^{x}\cdot 3x^{2}\,dx.
Coloco o fator 3 fora da integral:
\int x^{3} e^{x}\,dx = x^{3}e^{x} - 3\int x^{2}e^{x}\,dx.

Passo 4

Agora calculamos \displaystyle \int x^{2}e^{x}\,dx por partes novamente. Escolho
u = x^{2},\qquad dv = e^{x}\,dx,
logo
du = 2x\,dx,\qquad v = e^{x}.
Aplicando a fórmula:
\int x^{2}e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - \int e^{x}\cdot 2x\,dx = x^{2}e^{x} - 2\int x e^{x}\,dx.

Passo 5

Falta calcular \displaystyle \int x e^{x}\,dx. Fazemos outra vez por partes com
u = x,\qquad dv = e^{x}\,dx,
então
du = dx,\qquad v = e^{x}.
Aplicando:
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C.
Para fins de cálculo intermediário podemos omitir a constante até o final; portanto usamos
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x}.

Passo 6

Voltando para \int x^{2}e^{x}\,dx, substituímos o resultado:
\int x^{2}e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - 2\bigl(x e^{x} - e^{x}\bigr) = x^{2}e^{x} - 2x e^{x} + 2 e^{x}.

Passo 7

Agora voltamos para a integral original, usando \displaystyle \int x^{3} e^{x}\,dx = x^{3}e^{x} - 3\int x^{2}e^{x}\,dx. Substituindo \int x^{2}e^{x}\,dx:
\int x^{3} e^{x}\,dx = x^{3}e^{x} - 3\bigl(x^{2}e^{x} - 2x e^{x} + 2 e^{x}\bigr).
Desenvolvendo os parênteses:
\int x^{3} e^{x}\,dx = x^{3}e^{x} - 3x^{2}e^{x} + 6x e^{x} - 6 e^{x} + C.

Passo 8

Fatorando e^{x} para ficar mais compacto e dar uma forma final bonita:
\int x^{3} e^{x}\,dx = e^{x}\bigl(x^{3} - 3x^{2} + 6x - 6\bigr) + C.

Resposta

e^{x}\bigl(x^{3} - 3x^{2} + 6x - 6\bigr) + C

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