Use a integração por partes para calcular a integral dada:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
usando integração por partes. Informações relevantes dadas: a função integranda é o produto de um polinômio
e a exponencial
. Espera-se uma primitiva geral, então devemos incluir a constante de integração
.
Passo 2
Explicando o método (integração por partes) de forma simples: a fórmula básica é
Aqui
e
são escolhas que fazemos para decompor a integranda;
é a diferencial de
(ou seja,
) e
é uma primitiva de
(ou seja,
). A ideia é escolher
de modo que
seja “mais simples” e escolher
de modo que consigamos integrar e obter
facilmente. No caso de polinômios multiplicados por
, uma boa escolha é sempre tomar o polinômio como
, porque sua derivada reduz o grau do polinômio, e
é fácil de integrar (a primitiva de
é
de novo).
Passo 3
Primeira aplicação da fórmula: escolho
Então
Aplicando integração por partes:
Coloco o fator
fora da integral:
Passo 4
Agora calculamos
por partes novamente. Escolho
logo
Aplicando a fórmula:
Passo 5
Falta calcular
. Fazemos outra vez por partes com
então
Aplicando:
Para fins de cálculo intermediário podemos omitir a constante até o final; portanto usamos
Passo 6
Voltando para
, substituímos o resultado:
Passo 7
Agora voltamos para a integral original, usando
. Substituindo
:
Desenvolvendo os parênteses:
Passo 8
Fatorando
para ficar mais compacto e dar uma forma final bonita: