Use a integração por partes para calcular a integral dada:
Passo 1
Enunciado: calcular a integral
.
Informações dadas: a função integranda é o produto de um polinômio ) e uma exponencial negativa ).
Pedido: encontrar uma antiderivada (primitiva) dessa função, ou seja, uma função tal que
.
Informações dadas: a função integranda é o produto de um polinômio ) e uma exponencial negativa ).
Pedido: encontrar uma antiderivada (primitiva) dessa função, ou seja, uma função
Passo 2
Método: integração por partes. Vou explicar a fórmula com calma. A fórmula de integração por partes é
Aqui
é uma função que escolhemos e
é outra parte do integrando que escolhemos para integrar facilmente. Depois calculamos
(a derivada de
vezes
) e
(a primitiva de
). A ideia é escolher
de forma que ao derivá-la a expressão fique mais simples.
Passo 3
Escolha para a primeira aplicação: tomar
e
.
Calcule e
:
Calcule
Expliquei: derivei
obtendo
, e integrei
sabendo que
.
Passo 4
Aplicando a fórmula
com esses
:
Simplificando sinais:
Agora reduzimos o problema para calcular
.
Passo 5
Vamos calcular
por integração por partes novamente. Escolha
e
. Então
Aplicando a fórmula:
E como
, obtemos
Passo 6
Substituindo o resultado de
na expressão do Passo 4:
Distribuindo o
e somando:
Fatorando
:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): derivando
obtemos
confirmando que a primitiva está correta.