Use a integração por partes para calcular a integral dada:
\int x^{2} e^{-x} d x

Passo 1

Enunciado: calcular a integral \int x^{2} e^{-x}\,dx.
Informações dadas: a função integranda é o produto de um polinômio \(x^{2}) e uma exponencial negativa \(e^{-x}).
Pedido: encontrar uma antiderivada (primitiva) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=x^{2}e^{-x}.

Passo 2

Método: integração por partes. Vou explicar a fórmula com calma. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui u é uma função que escolhemos e dv é outra parte do integrando que escolhemos para integrar facilmente. Depois calculamos du (a derivada de u vezes dx) e v (a primitiva de dv). A ideia é escolher u de forma que ao derivá-la a expressão fique mais simples.

Passo 3

Escolha para a primeira aplicação: tomar u = x^{2} e dv = e^{-x}\,dx.
Calcule du e v:
du = \frac{d}{dx}(x^{2})\,dx = 2x\,dx,
v = \int e^{-x}\,dx = -e^{-x}.
Expliquei: derivei x^{2} obtendo 2x, e integrei e^{-x} sabendo que \int e^{-x}dx = -e^{-x}.

Passo 4

Aplicando a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du com esses u,dv,du,v:
\int x^{2} e^{-x}\,dx = x^{2}(-e^{-x}) - \int (-e^{-x})(2x\,dx).
Simplificando sinais:
\int x^{2} e^{-x}\,dx = -x^{2}e^{-x} + 2\int x e^{-x}\,dx.
Agora reduzimos o problema para calcular \int x e^{-x}\,dx.

Passo 5

Vamos calcular \int x e^{-x}\,dx por integração por partes novamente. Escolha u_{2}=x e dv_{2}=e^{-x}\,dx. Então
du_{2}=dx,\qquad v_{2}=\int e^{-x}\,dx = -e^{-x}.
Aplicando a fórmula:
\int x e^{-x}\,dx = x(-e^{-x}) - \int (-e^{-x})\,dx = -x e^{-x} + \int e^{-x}\,dx.
E como \int e^{-x}\,dx = -e^{-x}, obtemos
\int x e^{-x}\,dx = -x e^{-x} - e^{-x} = -(x+1)e^{-x}.

Passo 6

Substituindo o resultado de \int x e^{-x}\,dx na expressão do Passo 4:
\int x^{2} e^{-x}\,dx = -x^{2}e^{-x} + 2\bigl(-(x+1)e^{-x}\bigr).
Distribuindo o 2 e somando:
\int x^{2} e^{-x}\,dx = -x^{2}e^{-x} -2x e^{-x} -2 e^{-x}.
Fatorando -e^{-x}:
\int x^{2} e^{-x}\,dx = -\bigl(x^{2}+2x+2\bigr)e^{-x} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): derivando F(x) = -\bigl(x^{2}+2x+2\bigr)e^{-x} obtemos
F'(x) = - (2x+2)e^{-x} + \bigl(x^{2}+2x+2\bigr)e^{-x} = x^{2}e^{-x},
confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

-\bigl(x^{2}+2x+2\bigr)e^{-x}+C

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