Use a integração por partes para calcular a integral dada:
\int x^{3} e^{x^{2}} d x[
Sugestão. Reescreva o integrando como
x^{2}\left(x e^{x^{2}}\right).]

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral
\int x^{3} e^{x^{2}} \, dx.
Informações dadas: o integrando é x^{3} e^{x^{2}} e há a sugestão de reescrever o integrando como
x^{2}\left(x e^{x^{2}}\right).
Nada mais foi pedido; a tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função.

Passo 2

Ferramenta que vamos usar (explicação didática): a fórmula de integração por partes.
A fórmula é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui u e v são funções de x; du é a diferencial de u e v é uma primitiva de dv. Essa fórmula vem da regra do produto para derivação: se w(x)=u(x)v(x), então w'(x)=u'v+uv'. Integrando ambos os lados e isolando \int u\,dv obtemos a fórmula acima. É útil quando conseguimos separar o integrando em uma parte que é fácil de derivar ( u) e outra que é fácil de integrar ( dv).

Passo 3

Aplicando a sugestão, reescrevemos o integrando como
x^{3} e^{x^{2}} = x^{2}\cdot\bigl(x e^{x^{2}}\bigr).
A ideia é escolher u como a parte que fica mais simples ao ser derivada e dv como a parte que é fácil de integrar.

Passo 4

Escolha das partes para integração por partes:
u = x^{2},\qquad dv = x e^{x^{2}}\,dx.
Agora calculamos du e uma primitiva v de dv.
Derivando u:
du = \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = 2x\,dx.
Para achar v (uma primitiva de x e^{x^{2}}), usamos substituição: seja \,t = x^{2}. Então \,dt = 2x\,dx, logo x\,dx = \tfrac{1}{2}\,dt. Assim
\int x e^{x^{2}}\,dx = \int e^{t}\cdot \frac{1}{2}\,dt = \frac{1}{2} e^{t} + C = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C.
Portanto podemos tomar
v = \frac{1}{2} e^{x^{2}}.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
\int x^{3} e^{x^{2}}\,dx = \int u\,dv = uv - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int x^{3} e^{x^{2}}\,dx = x^{2}\cdot\frac{1}{2} e^{x^{2}} - \int \frac{1}{2} e^{x^{2}} \cdot 2x\,dx.
Simplificando o integrando da segunda integral (observe que \tfrac{1}{2}\cdot 2x = x):
\int x^{3} e^{x^{2}}\,dx = \frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \int x e^{x^{2}}\,dx.

Passo 6

A integral que restou, \int x e^{x^{2}}\,dx, já calculamos no Passo 4 pela substituição; é \tfrac{1}{2} e^{x^{2}}. Substituindo:
\int x^{3} e^{x^{2}}\,dx = \frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C.
Fatorando \tfrac{1}{2} e^{x^{2}} para ficar mais elegante:
\int x^{3} e^{x^{2}}\,dx = \frac{1}{2} e^{x^{2}}\bigl(x^{2}-1\bigr) + C.

Passo 7

Verificação rápida (como checar na prova): derivamos a resposta para confirmar que recuperamos o integrando. Seja
F(x)=\frac{1}{2} e^{x^{2}}\bigl(x^{2}-1\bigr).
Usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
F'(x)=\frac{1}{2}\bigl( e^{x^{2}}\cdot 2x\bigr)\bigl(x^{2}-1\bigr) + \frac{1}{2} e^{x^{2}}\cdot 2x.
Simplificando \frac{1}{2}\cdot 2x = x:
F'(x)= x e^{x^{2}}\bigl(x^{2}-1\bigr) + x e^{x^{2}} = x e^{x^{2}}\bigl(x^{2}-1+1\bigr) = x^{3} e^{x^{2}},
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2} e^{x^{2}}\bigl(x^{2}-1\bigr)+C

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