Use a integração por partes para calcular a integral dada:
[
Sugestão. Reescreva o integrando como
]
Sugestão. Reescreva o integrando como
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral
Informações dadas: o integrando é
e há a sugestão de reescrever o integrando como
Nada mais foi pedido; a tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função.
Passo 2
Ferramenta que vamos usar (explicação didática): a fórmula de integração por partes.
A fórmula é
A fórmula é
Aqui
e
são funções de
;
é a diferencial de
e
é uma primitiva de
. Essa fórmula vem da regra do produto para derivação: se
, então
. Integrando ambos os lados e isolando
obtemos a fórmula acima. É útil quando conseguimos separar o integrando em uma parte que é fácil de derivar (
) e outra que é fácil de integrar (
).
Passo 3
Aplicando a sugestão, reescrevemos o integrando como
A ideia é escolher
como a parte que fica mais simples ao ser derivada e
como a parte que é fácil de integrar.
Passo 4
Escolha das partes para integração por partes:
Agora calculamos
e uma primitiva
de
.
Derivando
:
Para achar
(uma primitiva de
), usamos substituição: seja
. Então
, logo
. Assim
Portanto podemos tomar
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Simplificando o integrando da segunda integral (observe que
):
Passo 6
A integral que restou,
, já calculamos no Passo 4 pela substituição; é
. Substituindo:
Fatorando
para ficar mais elegante:
Passo 7
Verificação rápida (como checar na prova): derivamos a resposta para confirmar que recuperamos o integrando. Seja
Usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Simplificando
:
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.