Use a integração por partes para calcular a integral dada:
\int \frac{\ln x}{x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\ln x}{x^{3}}\,dx.
Informações fornecidas e observações importantes:
  1. A função integranda é \dfrac{\ln x}{x^{3}}. Posso reescrever isso como \ln x\cdot x^{-3}.
  2. O domínio natural onde \ln x está definido é x>0. Portanto a primitiva que encontrarmos vale para x>0.
  3. O objetivo final é obter uma antiderivada (primitiva) explícita e adicionar a constante de integração C.

Passo 2

Primeiro reescrevo a integral de forma mais conveniente:
\int \frac{\ln x}{x^{3}}\,dx = \int \ln x \cdot x^{-3}\,dx.
Isso facilita ver poder aplicar a técnica de integração por partes (quando temos um produto de funções).

Passo 3

Vou lembrar a fórmula da integração por partes e explicar cada item:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui:
  • u é uma função que escolhemos para derivar (ficar mais simples).
  • dv é a parte que integramos para obter v.
  • du é a derivada de u em relação a x.
    A ideia é escolher u e dv de forma que \int v\,du seja mais simples que a integral original.

Passo 4

Escolha de u e dv: uma escolha natural é
u = \ln x,\qquad dv = x^{-3}\,dx.
Justificativa: ao derivar \ln x obtemos algo mais simples ( 1/x), e integrar x^{-3} é direto com a regra das potências.

Passo 5

Calculo de du e v:
Derivando u:
du = \frac{d}{dx}(\ln x)\,dx = \frac{1}{x}\,dx.
Integrando dv usando a regra das potências \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1:
v = \int x^{-3}\,dx = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2}x^{-2} = -\frac{1}{2x^{2}}.

Passo 6

Aplicando a fórmula da integração por partes:
\int \ln x\cdot x^{-3}\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int \ln x\cdot x^{-3}\,dx = \ln x\left(-\frac{1}{2x^{2}}\right) - \int \left(-\frac{1}{2x^{2}}\right)\left(\frac{1}{x}\,dx\right).

Passo 7

Simplifico os sinais e a integral restante:
\ln x\left(-\frac{1}{2x^{2}}\right) - \int \left(-\frac{1}{2x^{3}}\right)\,dx = -\frac{\ln x}{2x^{2}} + \frac{1}{2}\int x^{-3}\,dx.
Note que -\int(-\frac{1}{2}x^{-3})\,dx = +\frac{1}{2}\int x^{-3}\,dx.

Passo 8

Agora calculo \int x^{-3}\,dx novamente (já feito antes):
\int x^{-3}\,dx = -\frac{1}{2x^{2}}.
Multiplicando por \dfrac{1}{2}
\frac{1}{2}\int x^{-3}\,dx = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2x^{2}}\right) = -\frac{1}{4x^{2}}.

Passo 9

Juntando os termos obtidos:
\int \frac{\ln x}{x^{3}}\,dx = -\frac{\ln x}{2x^{2}} - \frac{1}{4x^{2}} + C,
onde C é a constante de integração. Posso também simplificar em uma única fração:
-\frac{\ln x}{2x^{2}} - \frac{1}{4x^{2}} = -\frac{2\ln x + 1}{4x^{2}}.

Resposta

-\frac{\ln x}{2x^{2}}-\frac{1}{4x^{2}}+C

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