Use a integração por partes para calcular a integral dada:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações fornecidas e observações importantes:
- A função integranda é
. Posso reescrever isso como . - O domínio natural onde
está definido é . Portanto a primitiva que encontrarmos vale para . - O objetivo final é obter uma antiderivada (primitiva) explícita e adicionar a constante de integração
.
Passo 2
Primeiro reescrevo a integral de forma mais conveniente:
Isso facilita ver poder aplicar a técnica de integração por partes (quando temos um produto de funções).
Passo 3
Vou lembrar a fórmula da integração por partes e explicar cada item:
Aqui:
-
é uma função que escolhemos para derivar (ficar mais simples). -
é a parte que integramos para obter . -
é a derivada de em relação a .
A ideia é escolhere de forma que seja mais simples que a integral original.
Passo 4
Escolha de
e
: uma escolha natural é
Justificativa: ao derivar
obtemos algo mais simples (
), e integrar
é direto com a regra das potências.
Passo 5
Calculo de
e
:
Derivando :
Derivando
Integrando
usando a regra das potências
para
:
Passo 6
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Passo 7
Simplifico os sinais e a integral restante:
Note que
.
Passo 8
Agora calculo
novamente (já feito antes):
Multiplicando por
dá
Passo 9
Juntando os termos obtidos:
onde
é a constante de integração. Posso também simplificar em uma única fração: