Use a integração por partes para calcular a integral dada:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral
Usos e informações dadas:
- A integranda é
. - O enunciado exige explicitamente que usemos a técnica de integração por partes.
- Não há outros dados (limites, condições) — portanto queremos uma primitiva geral (com constante de integração).
Passo 2
Lembrando a fórmula de integração por partes: se escolhemos duas funções dependentes de
,
e
, então
Aqui:
-
é a parte que vamos derivar (produz ); -
é a parte que vamos integrar para obter .
A ideia é escolhere de modo que a nova integral seja mais simples do que a original.
Passo 3
Escolha prática (justificativa): tomamos
Motivo: derivar
gera um fator
(pois
), e esse
permite, mais adiante, fazer a substituição
. Integrar
é simples (potência).
Passo 4
Calcular
e
:
- Derivada de
:
- Integral de
:
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo
:
Passo 6
Simplificar constantes dentro da integral resultante:
logo
Agora a nova integral
é apropriada para substituição
, porque há um
escondido em
.
Passo 7
Fazer a substituição
. Então
Além disso
, então
E
. Portanto
Passo 8
Expandir o integrando em
e integrar. Primeiro:
Então
Voltando à expressão obtida no Passo 6, lembramos do fator
multiplicando essa integral; esse
cancela com
:
Agora integrando termo a termo:
Logo
Passo 9
Juntando com o termo inicial
e substituindo
:
Agora escrevemos
em termos de
usando
:
Subtraindo o polinômio integrado, os termos em
se cancelam, e os coeficientes restantes simplificam:
Portanto obtemos a forma compacta
Por fim voltamos a
com
: