Use a integração por partes para calcular a integral dada:
\int x^{7}\left(x^{4}+5\right)^{8} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral
\int x^{7}\left(x^{4}+5\right)^{8}\,dx
Usos e informações dadas:
  • A integranda é x^{7}\left(x^{4}+5\right)^{8}.
  • O enunciado exige explicitamente que usemos a técnica de integração por partes.
  • Não há outros dados (limites, condições) — portanto queremos uma primitiva geral (com constante de integração).

Passo 2

Lembrando a fórmula de integração por partes: se escolhemos duas funções dependentes de x, u(x) e v'(x), então
\int u(x)\,v'(x)\,dx = u(x)\,v(x) - \int v(x)\,u'(x)\,dx + C.
Aqui:
  • u(x) é a parte que vamos derivar (produz u'(x));
  • v'(x)\,dx é a parte que vamos integrar para obter v(x).
    A ideia é escolher u e v' de modo que a nova integral \int v\,u'\,dx seja mais simples do que a original.

Passo 3

Escolha prática (justificativa): tomamos
u(x) = \left(x^{4}+5\right)^{8},\qquad v'(x)=x^{7}.
Motivo: derivar u gera um fator x^{3} (pois \frac{d}{dx}x^{4}=4x^{3}), e esse x^{3} permite, mais adiante, fazer a substituição t=x^{4}+5. Integrar v'(x)=x^{7} é simples (potência).

Passo 4

Calcular u'(x) e v(x):
  • Derivada de u:
u'(x)=\frac{d}{dx}\left(x^{4}+5\right)^{8}=8\left(x^{4}+5\right)^{7}\cdot\frac{d}{dx}\left(x^{4}+5\right) =8\left(x^{4}+5\right)^{7}\cdot 4x^{3}=32x^{3}\left(x^{4}+5\right)^{7}.
  • Integral de v'(x):
v(x)=\int x^{7}\,dx=\frac{x^{8}}{8}.

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int x^{7}\left(x^{4}+5\right)^{8}\,dx = u(x)\,v(x) - \int v(x)\,u'(x)\,dx + C.
Substituindo u,v,u':
\int x^{7}\left(x^{4}+5\right)^{8}\,dx = \frac{x^{8}}{8}\left(x^{4}+5\right)^{8} - \int \frac{x^{8}}{8}\cdot 32x^{3}\left(x^{4}+5\right)^{7}\,dx + C.

Passo 6

Simplificar constantes dentro da integral resultante:
\frac{x^{8}}{8}\cdot 32x^{3}=4x^{11},
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\int x^{7}\left(x^{4}+5\right)^{8}\,dx = \frac{x^{8}}{8}\left(x^{4}+5\right)^{8} - 4\int x^{11}\left(x^{4}+5\right)^{7}\,dx + C.
Agora a nova integral \int x^{11}\left(x^{4}+5\right)^{7}\,dx é apropriada para substituição t=x^{4}+5, porque há um x^{3} escondido em x^{11}=x^{8}\cdot x^{3}.

Passo 7

Fazer a substituição \displaystyle t = x^{4}+5. Então
dt = 4x^{3}\,dx\qquad\Rightarrow\qquad x^{3}\,dx=\frac{dt}{4}.
Além disso x^{4}=t-5, então
x^{11}\,dx = x^{8}\cdot x^{3}\,dx = (x^{4})^{2}\cdot x^{3}\,dx = (t-5)^{2}\cdot\frac{dt}{4}.
E \left(x^{4}+5\right)^{7}=t^{7}. Portanto
\int x^{11}\left(x^{4}+5\right)^{7}\,dx = \int (t-5)^{2}\,t^{7}\cdot\frac{dt}{4}.

Passo 8

Expandir o integrando em t e integrar. Primeiro:
(t-5)^{2}t^{7} = (t^{2}-10t+25)\,t^{7} = t^{9}-10t^{8}+25t^{7}.
Então
\int x^{11}\left(x^{4}+5\right)^{7}\,dx = \frac{1}{4}\int \bigl(t^{9}-10t^{8}+25t^{7}\bigr)\,dt.
Voltando à expressão obtida no Passo 6, lembramos do fator -4 multiplicando essa integral; esse -4 cancela com \tfrac{1}{4}:
-4\cdot \frac{1}{4}\int \bigl(t^{9}-10t^{8}+25t^{7}\bigr)\,dt = -\int \bigl(t^{9}-10t^{8}+25t^{7}\bigr)\,dt.
Agora integrando termo a termo:
\int t^{9}\,dt=\frac{t^{10}}{10},\qquad \int t^{8}\,dt=\frac{t^{9}}{9},\qquad \int t^{7}\,dt=\frac{t^{8}}{8}.
Logo
-\int \bigl(t^{9}-10t^{8}+25t^{7}\bigr)\,dt = -\left(\frac{t^{10}}{10}-10\cdot\frac{t^{9}}{9}+25\cdot\frac{t^{8}}{8}\right)+C.

Passo 9

Juntando com o termo inicial \dfrac{x^{8}}{8}(x^{4}+5)^{8} e substituindo t=x^{4}+5:
\int x^{7}\left(x^{4}+5\right)^{8}\,dx = \frac{x^{8}}{8}t^{8} - \left(\frac{t^{10}}{10}-\frac{10t^{9}}{9}+\frac{25t^{8}}{8}\right) + C.
Agora escrevemos \dfrac{x^{8}}{8}t^{8} em termos de t usando x^{8}=(x^{4})^{2}=(t-5)^{2}=t^{2}-10t+25:
\frac{x^{8}}{8}t^{8}=\frac{1}{8}\bigl(t^{2}-10t+25\bigr)t^{8} =\frac{t^{10}}{8}-\frac{10t^{9}}{8}+\frac{25t^{8}}{8}.
Subtraindo o polinômio integrado, os termos em t^{8} se cancelam, e os coeficientes restantes simplificam:
\frac{t^{10}}{8}-\frac{t^{10}}{10} = \frac{1}{40}t^{10},
-\frac{10t^{9}}{8} + \frac{10t^{9}}{9} = -\frac{5}{36}t^{9}.
Portanto obtemos a forma compacta
\int x^{7}\left(x^{4}+5\right)^{8}\,dx = \frac{1}{40}t^{10}-\frac{5}{36}t^{9}+C.
Por fim voltamos a x com t=x^{4}+5:
\boxed{\displaystyle \frac{1}{40}\left(x^{4}+5\right)^{10}-\frac{5}{36}\left(x^{4}+5\right)^{9}+C.}

Resposta

\displaystyle \frac{1}{40}\left(x^{4}+5\right)^{10}-\frac{5}{36}\left(x^{4}+5\right)^{9}+C

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