Use a integração por partes para calcular a integral dada:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações iniciais:
- É uma integral indefinida (procura-se uma primitiva), então o resultado terá uma constante de integração
. - A função
exige que para estar bem definida (assumiremos ). - Não há outros dados; vamos usar integração por partes conforme solicitado.
Passo 2
Mini-aula rápida: fórmula da integração por partes.
A integração por partes vem da regra do produto. Se e
são diferenciáveis, então
A integração por partes vem da regra do produto. Se
Integrando ambos os lados obtemos a fórmula
onde
e
. Aqui:
-
é uma parte da integranda que escolhemos para derivar (ficará ); -
é a parte que escolhemos para integrar (ficará ).
A escolha dee costuma seguir a ideia de deixar mais simples que a integral inicial.
Passo 3
Escolha de
e
para a integral
.
Motivação (simples e prática): derivar
reduz a potência de
, enquanto integrar
é direto. Então escolhemos
Passo 4
Calcular
e
.
Derivando
:
Integrando
:
Passo 5
Aplicar a fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Simplificando o integrando da segunda parcela:
Logo obtemos a redução
Passo 6
Agora precisamos calcular
. Voltamos à integração por partes para essa integral menor.
Escolha prática:
Passo 7
Calcular
e
para a segunda integração por partes:
Aplicando a fórmula:
Simplificando o integrando:
então
Portanto
Passo 8
Voltar à expressão obtida no Passo 5 e substituir
:
onde
é a constante de integração. Agora distribuímos o sinal e somamos termos semelhantes:
Passo 9
Podemos deixar o resultado em uma forma mais compacta, fatorando
:
válido para
.