Use a integração por partes para calcular a integral dada:
\int x(\ln x)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x(\ln x)^{2}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • É uma integral indefinida (procura-se uma primitiva), então o resultado terá uma constante de integração C.
  • A função (\ln x)^{2} exige que x>0 para estar bem definida (assumiremos x>0).
  • Não há outros dados; vamos usar integração por partes conforme solicitado.

Passo 2

Mini-aula rápida: fórmula da integração por partes.
A integração por partes vem da regra do produto. Se u=u(x) e v=v(x) são diferenciáveis, então
\frac{d}{dx}\big(u v\big)=u\,\frac{dv}{dx}+v\,\frac{du}{dx}.
Integrando ambos os lados obtemos a fórmula
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde du=\frac{du}{dx}\,dx e dv=\frac{dv}{dx}\,dx. Aqui:
  • u é uma parte da integranda que escolhemos para derivar (ficará du);
  • dv é a parte que escolhemos para integrar (ficará v).
    A escolha de u e dv costuma seguir a ideia de deixar \int v\,du mais simples que a integral inicial.

Passo 3

Escolha de u e dv para a integral \int x(\ln x)^{2}\,dx.
Motivação (simples e prática): derivar (\ln x)^{2} reduz a potência de \ln x, enquanto integrar x é direto. Então escolhemos
u=(\ln x)^{2},\qquad dv=x\,dx.

Passo 4

Calcular du e v.
Derivando u:
du = \frac{d}{dx}\big((\ln x)^{2}\big)\,dx = 2\ln x\cdot\frac{1}{x}\,dx = 2\frac{\ln x}{x}\,dx.
Integrando dv:
v=\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.

Passo 5

Aplicar a fórmula da integração por partes:
\int x(\ln x)^{2}\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int x(\ln x)^{2}\,dx = \frac{x^{2}}{2}(\ln x)^{2} - \int \frac{x^{2}}{2}\cdot 2\frac{\ln x}{x}\,dx.
Simplificando o integrando da segunda parcela:
\frac{x^{2}}{2}\cdot 2\frac{\ln x}{x} = x\ln x.
Logo obtemos a redução
\int x(\ln x)^{2}\,dx = \frac{x^{2}}{2}(\ln x)^{2} - \int x\ln x\,dx.

Passo 6

Agora precisamos calcular \int x\ln x\,dx. Voltamos à integração por partes para essa integral menor.
Escolha prática:
u=\ln x,\qquad dv=x\,dx.

Passo 7

Calcular du e v para a segunda integração por partes:
du = \frac{1}{x}\,dx,\qquad v=\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}.
Aplicando a fórmula:
\int x\ln x\,dx = u v - \int v\,du = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \int \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Simplificando o integrando:
\frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{x}{2},
então
\int x\ln x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \int \frac{x}{2}\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{1}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2}.
Portanto
\int x\ln x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{x^{2}}{4}.

Passo 8

Voltar à expressão obtida no Passo 5 e substituir \int x\ln x\,dx:
\int x(\ln x)^{2}\,dx = \frac{x^{2}}{2}(\ln x)^{2} - \left(\frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{x^{2}}{4}\right) + C,
onde C é a constante de integração. Agora distribuímos o sinal e somamos termos semelhantes:
\int x(\ln x)^{2}\,dx = \frac{x^{2}}{2}(\ln x)^{2} - \frac{x^{2}}{2}\ln x + \frac{x^{2}}{4} + C.

Passo 9

Podemos deixar o resultado em uma forma mais compacta, fatorando \frac{x^{2}}{4}:
\int x(\ln x)^{2}\,dx = \frac{x^{2}}{4}\big(2(\ln x)^{2}-2\ln x + 1\big) + C,
válido para x>0.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{2}(\ln x)^{2}-\frac{x^{2}}{2}\ln x+\frac{x^{2}}{4}+C

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