Use a integração por partes para calcular a integral integralpi^i e^z cos z d z, escrevendo a resposta na forma a+i b.

Passo 1

Estamos calculando a integral complexa integralpi^i e^zcos z,dz usando integração por partes. Vamos usar teoria de integrais de funções holomorfas e as fórmulas de sin z, cos z e e^z para resolver.

Passo 2

Primeiro achamos uma primitiva de I=integral e^zcos z,dz. Fazemos duas integrações por partes: escolhemos u=e^z, dv=cos z,dz. Então du=e^z,dz e v=sin z. Logo
I=e^zsin z-integral e^zsin z,dz

Passo 3

Para calcular integral e^zsin z,dz aplicamos partes de novo com u=e^z, dv=sin z,dz, obtendo v=-cos z. Assim
integral e^zsin z,dz=-e^zcos z+integral e^zcos z,dz=-e^zcos z+I

Passo 4

Substituindo de volta em I=e^zsin z-l(-e^zcos z+Ir) obtemos
2I=e^z(sin z+cos z)Longrightarrow I=e^z2l(sin z+cos zr)+C

Passo 5

Agora avaliamos de z=pi até z=i na primitiva F(z)=tfrac12e^z(sin z+cos z). Temos
F(i)=e^i2l(sin i+cos ir), F(pi)=e^pi2l(0-1r)=-e^pi2

Passo 6

Então
integralpi^ie^zcos z,dz=F(i)-F(pi)=e^i2(sin i+cos i)+e^pi2

Passo 7

Para escrever em forma a+ib usamos sin i=isinh1, cos i=cosh1 e e^i=cos1+isin1. Logo
e^i(sin i+cos i)=(cos1+isin1)(cosh1+isinh1) =l(cos1cosh1-sin1sinh1r)+il(cos1sinh1+sin1cosh1r)

Passo 8

Somando tfrac12 desse resultado a tfrace^pi2 obtemos as partes real e imaginária.

Resposta

Exercícios relacionados