Determine o ponto do elipsóide x^2+2 y^2+3 z^2=1124 cuja soma das coodernadas seja máxima. (ver Guidorizzi, vol.2)

Passo 1

O enunciado pede pra maximizar a soma das coordenadas x+y+z sujeita ao elipsóide x²+2y²+3z²=11/24. O conteúdo que vamos usar é método de multiplicadores de Lagrange para otimização com restrição.

Passo 2

Formamos a Lagrangeana L(x,y,z,lambda)=x+y+z-lambdal(x^2+2y^2+3z^2-tfrac1124r). As condições de estacão são as derivadas nulas:
partial Lpartial x=1-2lambda x=0,partial Lpartial y=1-4lambda y=0,partial Lpartial z=1-6lambda z=0

Passo 3

Das equações acima tiramos x=12lambda,;y=14lambda,;z=16lambda

Passo 4

Substituímos no elipsóide:
l(tfrac12lambdar)^2+2l(tfrac14lambdar)^2+3l(tfrac16lambdar)^2=1124

Passo 5

Isso dá 1124lambda^2=1124, logo lambda^2=1. Para maximizar escolhemos lambda=1, pois gera soma positiva.

Passo 6

Com lambda=1 vem x=tfrac12,;y=tfrac14,;z=tfrac16, que de fato satisfaz a restrição e maximiza x+y+z.

Resposta

l(tfrac12,tfrac14,tfrac16r)

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