Seja
f(x)=\left\{\begin{array}{l} \frac{|x|}{x}, \text { se } x \neq 0 \\\\ 1, \text { se } x=0 \end{array} .\right.
Determine:
f(1)

Passo 1

O enunciado dá a função definida por partes:
f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{|x|}{x}, & \text{se } x\neq 0,\\[6pt] 1, & \text{se } x=0. \end{cases}
A pergunta é: determinar f(1). As informações relevantes são:
  • Para todo x\neq 0 devemos usar a expressão \dfrac{|x|}{x}.
  • Para x=0 o valor é 1.
    Não vamos resolver aqui ainda; apenas ficou claro que, como 1\neq 0, usaremos a primeira linha da definição.]

Passo 2

Vamos revisar o que é o valor absoluto |x|\). Por definição: \[|x|=\begin{cases} x, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] - x, & \text{se } x<0. \end{cases}
Exemplos rápidos para fixar: |1|=1\] e \(|-2|=2. Essa definição é importante porque vai permitir simplificar \dfrac{|x|}{x} dependendo do sinal de x.]

Passo 3

Agora, simplificamos a expressão \dfrac{|x|}{x} para x\neq 0. Como x\neq 0 podemos dividir por x. Usando a definição do valor absoluto:
  • Se x>0, então |x|=x e
\frac{|x|}{x}=\frac{x}{x}=1.
  • Se x<0, então |x|=-x e
\frac{|x|}{x}=\frac{-x}{x}=-1.
Portanto, para x\neq 0 a expressão \dfrac{|x|}{x} vale 1 quando x>0 e vale -1 quando x<0. (É a função sinal, exceto que o enunciado ainda define f(0)=1.)

Passo 4

Aplicando ao caso pedido: x=1. Temos 1\neq 0 e 1>0, então usamos a primeira linha:
f(1)=\frac{|1|}{1}.
Calculando |1|=1, segue
f(1)=\frac{1}{1}=1.
Você conseguiu — rápida e direta!

Resposta

1

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