A pergunta é: determinar f(1). As informações relevantes são:
Para todo x\neq 0 devemos usar a expressão \dfrac{|x|}{x}.
Para x=0 o valor é 1.
Não vamos resolver aqui ainda; apenas ficou claro que, como 1\neq 0, usaremos a primeira linha da definição.]
Passo 2
Vamos revisar o que é o valor absoluto |x|\). Por definição:
\[|x|=\begin{cases} x, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] - x, & \text{se } x<0. \end{cases}
Exemplos rápidos para fixar: |1|=1\] e \(|-2|=2. Essa definição é importante porque vai permitir simplificar \dfrac{|x|}{x} dependendo do sinal de x.]
Passo 3
Agora, simplificamos a expressão \dfrac{|x|}{x} para x\neq 0. Como x\neq 0 podemos dividir por x. Usando a definição do valor absoluto:
Se x>0, então |x|=x e
\frac{|x|}{x}=\frac{x}{x}=1.
Se x<0, então |x|=-x e
\frac{|x|}{x}=\frac{-x}{x}=-1.
Portanto, para x\neq 0 a expressão \dfrac{|x|}{x} vale 1 quando x>0 e vale -1 quando x<0. (É a função sinal, exceto que o enunciado ainda define f(0)=1.)
Passo 4
Aplicando ao caso pedido: x=1. Temos 1\neq 0 e 1>0, então usamos a primeira linha: