Informação útil extra (vindas do enunciado): a condição de contorno é dada como função de \theta no intervalo [0,2\pi]. Iremos usar essa função como a função periódica de período 2\pi definida por \theta(\pi-\theta) em [0,2\pi].
Passo 2
Forma geral da solução harmônica no disco e ideia do método (explicação didática):
A equação de Laplace em coordenadas polares é uma equação para funções harmônicas. Uma técnica padrão é separar variáveis em \theta (angular) e r (radial) e expandir os dados angulares em série de Fourier. Vou explicar a forma padrão que usamos e o porquê.
Resultado padrão (que podemos obter por separação de variáveis): toda solução harmônica regular no centro (r=0 sem singularidade) e 2\pi-periódica em \theta pode ser escrita como
a_0,A_n,B_n são constantes que serão determinadas pela condição de contorno.
O termo r^{-n} que aparece na solução geral é descartado porque queremos solução regular no centro (r=0); esses termos seriam singulares em r=0.
A razão de aparecer \cos n\theta e \sin n\theta é que essas funções formam uma base ortogonal periódica para representar funções angulares via série de Fourier.
Isto significa que a função f(\theta)=\theta(\pi-\theta) deve ser expandida em série de Fourier no intervalo [0,2\pi]; os coeficientes dessa série determinam a_0,A_n,B_n por
A_n a^n = a_n,\qquad B_n a^n = b_n,
onde a_n,b_n são os coeficientes da série de Fourier de f.
Passo 3
Fórmulas dos coeficientes de Fourier e aplicação ao nosso f(\theta)=\theta(\pi-\theta):
Para uma função de período 2\pi definida em [0,2\pi], a fórmula dos coeficientes (na convenção clássica) é
Aqui f(\theta)=\theta(\pi-\theta)=\pi\theta-\theta^2. Vamos calcular a_0,a_n,b_n explicitamente usando integração direta e por partes quando necessário.
O segundo termo é zero (\int_0^{2\pi}\cos n\theta\,d\theta=0). O primeiro termo vale -\frac{2\pi}{n}\cos(2\pi n)=-\frac{2\pi}{n} porque \cos(2\pi n)=1. Então
O segundo integral \int_{0}^{2\pi}\theta\cos n\theta\,d\theta já foi calculado como I_1=0. O primeiro termo é -\dfrac{(2\pi)^2}{n}\cos(2\pi n)=-\dfrac{4\pi^2}{n}. Logo
Identificação dos coeficientes na solução harmônica e escrita da solução final:
Temos, para n\ge1,
a_n=-\frac{4}{n^2},\qquad b_n=\frac{2\pi}{n},
e o termo médio
\frac{a_0}{2}=-\frac{\pi^2}{3}.
A relação entre os coeficientes da série de Fourier e os coeficientes na solução radial é A_n a^n=a_n e B_n a^n=b_n. Portanto A_n=\dfrac{a_n}{a^n}, B_n=\dfrac{b_n}{a^n}.
Substituindo na forma geral (ver Passo 2), a solução harmônica regular no disco que assume o valor dado na borda é