Questão 24. Encontre a solução u(r, \theta) da equação de Laplace na região circular r<a, 0<\theta<2 \pi, que satisfaz a condição de contorno
u(a, \theta)=\theta(\pi-\theta), \quad 0 \leq \theta \leq 2 \pi

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se encontrar a solução u(r,\theta) da equação de Laplace dentro do disco de raio a: 0\le r<a, 0<\theta<2\pi.
  • A condição de contorno na borda r=a é
u(a,\theta)=\theta(\pi-\theta),\qquad 0\le\theta\le2\pi.
  • Informação útil extra (vindas do enunciado): a condição de contorno é dada como função de \theta no intervalo [0,2\pi]. Iremos usar essa função como a função periódica de período 2\pi definida por \theta(\pi-\theta) em [0,2\pi].

Passo 2

Forma geral da solução harmônica no disco e ideia do método (explicação didática):
  • A equação de Laplace em coordenadas polares é uma equação para funções harmônicas. Uma técnica padrão é separar variáveis em \theta (angular) e r (radial) e expandir os dados angulares em série de Fourier. Vou explicar a forma padrão que usamos e o porquê.
  • Resultado padrão (que podemos obter por separação de variáveis): toda solução harmônica regular no centro ( r=0 sem singularidade) e 2\pi-periódica em \theta pode ser escrita como
u(r,\theta)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(A_n r^n\cos n\theta + B_n r^n\sin n\theta\right).
Aqui:
  • a_0,A_n,B_n são constantes que serão determinadas pela condição de contorno.
  • O termo r^{-n} que aparece na solução geral é descartado porque queremos solução regular no centro ( r=0); esses termos seriam singulares em r=0.
  • A razão de aparecer \cos n\theta e \sin n\theta é que essas funções formam uma base ortogonal periódica para representar funções angulares via série de Fourier.
  • Na borda r=a a igualdade deve ser
u(a,\theta)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(A_n a^n\cos n\theta + B_n a^n\sin n\theta\right)=\theta(\pi-\theta).
Isto significa que a função f(\theta)=\theta(\pi-\theta) deve ser expandida em série de Fourier no intervalo [0,2\pi]; os coeficientes dessa série determinam a_0,A_n,B_n por
A_n a^n = a_n,\qquad B_n a^n = b_n,
onde a_n,b_n são os coeficientes da série de Fourier de f.

Passo 3

Fórmulas dos coeficientes de Fourier e aplicação ao nosso f(\theta)=\theta(\pi-\theta):
  • Para uma função de período 2\pi definida em [0,2\pi], a fórmula dos coeficientes (na convenção clássica) é
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(\theta)\,d\theta,
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(\theta)\cos n\theta\,d\theta,\qquad n\ge1,
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(\theta)\sin n\theta\,d\theta,\qquad n\ge1.
  • Aqui f(\theta)=\theta(\pi-\theta)=\pi\theta-\theta^2. Vamos calcular a_0,a_n,b_n explicitamente usando integração direta e por partes quando necessário.

Passo 4

Cálculo do termo médio a_0:
  • Primeiro ouço o integral
\int_{0}^{2\pi} f(\theta)\,d\theta=\int_{0}^{2\pi}(\pi\theta-\theta^2)\,d\theta =\pi\int_{0}^{2\pi}\theta\,d\theta-\int_{0}^{2\pi}\theta^2\,d\theta.
  • Calcule cada integral simples:
\int_{0}^{2\pi}\theta\,d\theta=\frac{(2\pi)^2}{2}=2\pi^2,
\int_{0}^{2\pi}\theta^2\,d\theta=\frac{(2\pi)^3}{3}=\frac{8\pi^3}{3}.
  • Substituindo:
\int_{0}^{2\pi} f(\theta)\,d\theta=\pi\cdot 2\pi^2-\frac{8\pi^3}{3}=2\pi^3-\frac{8\pi^3}{3}=-\frac{2\pi^3}{3}.
  • Logo
a_0=\frac{1}{\pi}\left(-\frac{2\pi^3}{3}\right)=-\frac{2\pi^2}{3},
e portanto o termo médio na série vale
\frac{a_0}{2}=-\frac{\pi^2}{3}.

Passo 5

Cálculo de a_n (coeficiente do cosseno) para n\ge1:
  • Precisamos calcular
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}(\pi\theta-\theta^2)\cos n\theta\,d\theta =\frac{1}{\pi}\Big(\pi I_1 - I_2\Big),
onde definimos
I_1=\int_{0}^{2\pi}\theta\cos n\theta\,d\theta,\qquad I_2=\int_{0}^{2\pi}\theta^2\cos n\theta\,d\theta.
  • Calcule I_1 por partes: tome u=\theta, dv=\cos n\theta\,d\theta. Então du=d\theta, v=\frac{1}{n}\sin n\theta. Assim
I_1=\left.\frac{\theta}{n}\sin n\theta\right|_{0}^{2\pi}-\frac{1}{n}\int_{0}^{2\pi}\sin n\theta\,d\theta.
O primeiro termo envolve \sin(2\pi n)=0. O segundo integral é \left.-\frac{1}{n}\cos n\theta\right|_{0}^{2\pi}=0. Portanto
I_1=0.
  • Agora I_2. Integramos por partes com u=\theta^2, dv=\cos n\theta\,d\theta. Então du=2\theta\,d\theta, v=\frac{1}{n}\sin n\theta. Obtém-se
I_2=\left.\frac{\theta^2}{n}\sin n\theta\right|_{0}^{2\pi}-\frac{2}{n}\int_{0}^{2\pi}\theta\sin n\theta\,d\theta.
O primeiro termo é zero (porque \sin(2\pi n)=0), restando
I_2=-\frac{2}{n}J,
onde J=\int_{0}^{2\pi}\theta\sin n\theta\,d\theta.
  • Calcule J por partes: u=\theta, dv=\sin n\theta\,d\theta. Então du=d\theta, v=-\frac{1}{n}\cos n\theta. Assim
J=\left.-\frac{\theta}{n}\cos n\theta\right|_{0}^{2\pi}+\frac{1}{n}\int_{0}^{2\pi}\cos n\theta\,d\theta.
O segundo termo é zero ( \int_0^{2\pi}\cos n\theta\,d\theta=0). O primeiro termo vale -\frac{2\pi}{n}\cos(2\pi n)=-\frac{2\pi}{n} porque \cos(2\pi n)=1. Então
J=-\frac{2\pi}{n}.
  • Substituindo em I_2:
I_2=-\frac{2}{n}\left(-\frac{2\pi}{n}\right)=\frac{4\pi}{n^2}.
  • Voltando a a_n:
a_n=\frac{1}{\pi}\Big(\pi\cdot 0 - \frac{4\pi}{n^2}\Big)=-\frac{4}{n^2}.

Passo 6

Cálculo de b_n (coeficiente do seno) para n\ge1:
  • Precisamos de
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}(\pi\theta-\theta^2)\sin n\theta\,d\theta =\frac{1}{\pi}\Big(\pi K_1 - K_2\Big),
onde
K_1=\int_{0}^{2\pi}\theta\sin n\theta\,d\theta,\qquad K_2=\int_{0}^{2\pi}\theta^2\sin n\theta\,d\theta.
  • Nós já calculamos K_1 no passo anterior (era J): K_1=J=-\dfrac{2\pi}{n}.
  • Para K_2 usamos integração por partes com u=\theta^2, dv=\sin n\theta\,d\theta. Então du=2\theta\,d\theta, v=-\frac{1}{n}\cos n\theta. Assim
K_2=\left.-\frac{\theta^2}{n}\cos n\theta\right|_{0}^{2\pi}+\frac{2}{n}\int_{0}^{2\pi}\theta\cos n\theta\,d\theta.
O segundo integral \int_{0}^{2\pi}\theta\cos n\theta\,d\theta já foi calculado como I_1=0. O primeiro termo é -\dfrac{(2\pi)^2}{n}\cos(2\pi n)=-\dfrac{4\pi^2}{n}. Logo
K_2=-\frac{4\pi^2}{n}.
  • Substituindo em b_n:
b_n=\frac{1}{\pi}\Big(\pi\cdot\big(-\frac{2\pi}{n}\big)-\big(-\frac{4\pi^2}{n}\big)\Big) =\frac{1}{\pi}\Big(-\frac{2\pi^2}{n}+\frac{4\pi^2}{n}\Big) =\frac{2\pi}{n}.

Passo 7

Identificação dos coeficientes na solução harmônica e escrita da solução final:
  • Temos, para n\ge1,
a_n=-\frac{4}{n^2},\qquad b_n=\frac{2\pi}{n},
e o termo médio
\frac{a_0}{2}=-\frac{\pi^2}{3}.
  • A relação entre os coeficientes da série de Fourier e os coeficientes na solução radial é A_n a^n=a_n e B_n a^n=b_n. Portanto A_n=\dfrac{a_n}{a^n}, B_n=\dfrac{b_n}{a^n}.
  • Substituindo na forma geral (ver Passo 2), a solução harmônica regular no disco que assume o valor dado na borda é
u(r,\theta)=-\frac{\pi^2}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{r}{a}\right)^n\!\left(-\frac{4}{n^2}\cos n\theta+\frac{2\pi}{n}\sin n\theta\right).
Essa série converge para a extensão harmônica do dado de contorno no interior do disco.

Resposta

u(r,\theta)=-\frac{\pi^2}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{r}{a}\right)^n\!\left(-\frac{4}{n^2}\cos n\theta+\frac{2\pi}{n}\sin n\theta\right).

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