Use integração por partes para provar as fórmula de redução de integral:
Se I_{m}=\int \operatorname{sen}^{m} x d x, então I_{m}=-\frac{1}{m} \operatorname{sen}^{m-1} x \cos x+\frac{m-1}{m} I_{m-2}.

Passo 1

O enunciado nos pede para provar a fórmula de redução da integral
I_{m} = \int \sin^{m}x\,dx
usando integração por partes.
O conteúdo envolve escolher funções u e dv, calcular du e v, e reorganizar o resultado para expressar I_{m} em termos de I_{m-2}.

Passo 2

Escolhemos
u = \sin^{m-1}x, \quad dv = \sin x\,dx.
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du = (m-1)\sin^{m-2}x\cos x\,dx, \quad v = \int \sin x\,dx = -\cos x.
Aplicando a fórmula
\int u\,dv = uv - \int v\,du
temos:

Passo 3

Substituindo em I_{m} = \int \sin^{m-1}x\sin x\,dx:
I_{m} = u\,v \;-\;\int v\,du = -\sin^{m-1}x\cos x \;-\;\int \bigl(-\cos x\bigr)\,(m-1)\sin^{m-2}x\cos x\,dx.
Portanto
I_{m} = -\sin^{m-1}x\cos x + (m-1)\int \sin^{m-2}x\cos^2 x\,dx.
Usando \cos^2 x = 1 - \sin^2 x, obtemos
\int \sin^{m-2}x\cos^2 x\,dx = \int \sin^{m-2}x\,dx \;-\;\int \sin^m x\,dx = I_{m-2} - I_{m}.

Passo 4

Substituindo esse resultado em I_{m}:
I_{m} = -\sin^{m-1}x\cos x + (m-1)\bigl(I_{m-2}-I_{m}\bigr).
Reagrupando os termos com I_{m}:
I_{m} + (m-1)I_{m} = -\sin^{m-1}x\cos x + (m-1)I_{m-2},
m\,I_{m} = -\sin^{m-1}x\cos x + (m-1)I_{m-2},
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I_{m} = -\frac{1}{m}\sin^{m-1}x\cos x + \frac{m-1}{m}I_{m-2}.

Resposta

I_{m} = -\frac{1}{m}\sin^{m-1}x\cos x + \frac{m-1}{m}I_{m-2}.

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