Use integrais de linha para calcular a área da região delimitada pela curva limitada por x=0, y=0 e x+y=a.

Passo 1

O enunciado pede a área da região triangular limitada por x=0, y=0 e x+y=a usando integrais de linha e o Teorema de Green.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, a área A de R é dada por
A = 12 ointC (x,dy - y,dx)

Passo 3

Nas arestas C1 (eixo x, onde y=0) e C3 (eixo y, onde x=0) temos sempre x,dy - y,dx = 0. Logo
integralC1(x,dy - y,dx)=0, integralC3(x,dy - y,dx)=0

Passo 4

Para a aresta C2 (reta x+y=a) parametrizamos por x=a-t, y=t, com t variando de 0 a a. Então dx=-dt e dy=dt, e
integralC2(x,dy - y,dx) =integral0^al((a-t),dt - t(-dt)r) =integral0^a a,dt =a^2

Passo 5

Somando as três contribuições e aplicando a fórmula:
ointC(x,dy - y,dx)=0 + a^2 + 0 = a^2,
portanto
A = 12,a^2

Resposta

a^22

Exercícios relacionados