Use integrais de Riemann para calcular a área das regiões
dadas abaixo:
é a região que está acima do eixo
com
. Além disso,
está abaixo da curva
se
e abaixo de
para
.
Passo 1
O enunciado fornece a região
limitada pelas seguintes condições:
-
fica acima do eixo . -
. - Para
, está abaixo da curva . - Para
, está abaixo da curva .
O que o problema pede: calcular a área da região
.
Passo 2
Ideia geral usando integrais de Riemann (explicação didática).
- A área sob uma curva
acima do eixo em um intervalo é dada pela integral definida
que representa o limite de somas de Riemann. Uma soma de Riemann é construída dividindo
em subintervalos, escolhendo pontos de amostragem em cada subintervalo e somando
. O integral é o limite dessa soma quando o comprimento máximo dos subintervalos tende a zero.
- Se
é contínua em , então é integrável e essa integral realmente dá a área sob a curva. - Aqui,
e são contínuas em , portanto são integráveis e podemos usar integrais para calcular a área.
Passo 3
Como a função que limita superiormente
muda em
, dividimos a área em duas partes e somamos:
Explicação do porquê: para
o teto de
é
, então a contribuição dessa fatia é
. Para
o teto é
, então a contribuição é
.
Passo 4
Calcular
passo a passo.
- Primeiro, achar uma primitiva (antiderivada) de
. Uma primitiva é uma função tal que . - Sabendo que
, uma primitiva é . - Avaliando a integral definida:
- Calcular os cossenos conhecidos:
e . - Substituindo:
Passo 5
Calcular
passo a passo.
- Uma primitiva de
é , porque . - Avaliando a integral:
- Valores conhecidos:
e . - Substituindo:
Passo 6
Juntando as duas contribuições.
- Cada uma das integrais deu
. - Portanto a área total é a soma: