Use integrais de Riemann para calcular a área das regiões R dadas abaixo:
R é a região que está acima do eixo x com 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}. Além disso, R está abaixo da curva y=\operatorname{sen} x se 0 \leq x \leq \frac{\pi}{4} e abaixo de y=\cos x para \frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{2}.

Passo 1

O enunciado fornece a região R limitada pelas seguintes condições:
  • R fica acima do eixo x.
  • 0 \leq x \leq \dfrac{\pi}{2}.
  • Para 0 \leq x \leq \dfrac{\pi}{4}, R está abaixo da curva y=\sin x.
  • Para \dfrac{\pi}{4} \leq x \leq \dfrac{\pi}{2}, R está abaixo da curva y=\cos x.
O que o problema pede: calcular a área da região R.

Passo 2

Ideia geral usando integrais de Riemann (explicação didática).
  • A área sob uma curva y=f(x) acima do eixo x em um intervalo [a,b] é dada pela integral definida
\int_{a}^{b} f(x)\,dx,
que representa o limite de somas de Riemann. Uma soma de Riemann é construída dividindo [a,b] em subintervalos, escolhendo pontos de amostragem em cada subintervalo e somando f(\text{ponto})\times \Delta x. O integral é o limite dessa soma quando o comprimento máximo dos subintervalos tende a zero.
  • Se f é contínua em [a,b], então f é integrável e essa integral realmente dá a área sob a curva.
  • Aqui, \sin x e \cos x são contínuas em [0,\tfrac{\pi}{2}], portanto são integráveis e podemos usar integrais para calcular a área.

Passo 3

Como a função que limita superiormente R muda em x=\dfrac{\pi}{4}, dividimos a área em duas partes e somamos:
\text{Área}(R)=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin x\,dx \;+\; \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x\,dx.Á
Explicação do porquê: para 0\le x\le \tfrac{\pi}{4} o teto de R é y=\sin x, então a contribuição dessa fatia é \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sin x\,dx. Para \tfrac{\pi}{4}\le x\le \tfrac{\pi}{2} o teto é y=\cos x, então a contribuição é \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin x\,dx passo a passo.
  • Primeiro, achar uma primitiva (antiderivada) de \sin x. Uma primitiva é uma função F(x) tal que F'(x)=\sin x.
  • Sabendo que \dfrac{d}{dx}(\!-\cos x\!)=\sin x, uma primitiva é F(x)=-\cos x.
  • Avaliando a integral definida:
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin x\,dx = \bigl[-\cos x\bigr]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = -\cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right) - \bigl(-\cos(0)\bigr).
  • Calcular os cossenos conhecidos: \cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} e \cos(0)=1.
  • Substituindo:
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin x\,dx = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} + 1 = 1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 5

Calcular \displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x\,dx passo a passo.
  • Uma primitiva de \cos x é G(x)=\sin x, porque \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x.
  • Avaliando a integral:
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x\,dx = \bigl[\sin x\bigr]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) - \sin\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right).
  • Valores conhecidos: \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1 e \sin\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • Substituindo:
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x\,dx = 1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 6

Juntando as duas contribuições.
  • Cada uma das integrais deu 1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • Portanto a área total é a soma:
\text{Área}(R)=\left(1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2\left(1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right).Á

Resposta

2-\sqrt{2}

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