Use integrais de Riemann para calcular a área das regiões R dadas abaixo:
R é um triângulo retângulo de base 15 e altura 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região R, onde R é um triângulo retângulo com base 15 e altura 2.
Informações dadas:
  • Base do triângulo: 15.
  • Altura do triângulo: 2.
  • Objetivo: calcular a área usando integrais de Riemann (ou seja, interpretar a área como integral definida e obtê-la como limite de somas de Riemann).

Passo 2

Escolher uma posição conveniente para aplicar integrais. Coloco a base do triângulo ao longo do eixo x, com o vértice direito em x=15 e o vértice superior sobre o eixo y em x=0. Assim os vértices relevantes são:
  • (0,2) (altura máxima),
  • (15,0) (extremidade da base),
  • (0,0) (origem, extremo da base).
A semirreta superior do triângulo é uma reta decrescente que passa por (0,2) e (15,0). Vamos descrever essa reta por uma função f(x) para x\in[0,15].
Calcular a inclinação (coeficiente angular) da reta:
m=\frac{0-2}{15-0}=\frac{-2}{15}.
O termo independente (intercepto) é b=2 (pois f(0)=2). Portanto a função da reta é
f(x)=2-\frac{2}{15}x,\qquad 0\le x\le15.
Observação importante: como f(x)\ge0 em [0,15], a área do triângulo é igual à integral definida \displaystyle\int_{0}^{15} f(x)\,dx.

Passo 3

Definir a soma de Riemann. Particiono o intervalo [0,15] em n subintervalos iguais de comprimento
\Delta x=\frac{15}{n}.
Escolho pontos de amostragem como os extremos direitos de cada subintervalo:
x_i=i\Delta x=\frac{15i}{n},\qquad i=1,2,\dots,n.
A soma de Riemann correspondente (soma direita) é
S_n=\sum_{i=1}^n f(x_i)\,\Delta x.
Substituo f(x_i):
f(x_i)=2-\frac{2}{15}\,x_i=2-\frac{2}{15}\cdot\frac{15i}{n}=2-\frac{2i}{n}.
Logo
S_n=\sum_{i=1}^n\left(2-\frac{2i}{n}\right)\frac{15}{n}.

Passo 4

Calcular a soma S_n passo a passo.
Escrevo:
S_n=\frac{15}{n}\sum_{i=1}^n\left(2-\frac{2i}{n}\right) =\frac{15}{n}\left(2\sum_{i=1}^n 1-\frac{2}{n}\sum_{i=1}^n i\right).
Avalio as somas conhecidas:
\sum_{i=1}^n 1 = n,\qquad \sum_{i=1}^n i=\frac{n(n+1)}{2}.
Substituindo:
S_n=\frac{15}{n}\left(2n-\frac{2}{n}\cdot\frac{n(n+1)}{2}\right) =\frac{15}{n}\left(2n-(n+1)\right).
Simplificando:
S_n=\frac{15}{n}(n-1)=15\left(1-\frac{1}{n}\right).
Aqui dei um leve desvio técnico: usei soma direita, mas qualquer escolha regular de pontos leva ao mesmo limite quando n\to\infty.

Passo 5

Agora tomo o limite quando o número de partições cresce:
\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}15\left(1-\frac{1}{n}\right)=15.
Pelo conceito de integral de Riemann, esse limite é precisamente a integral
\int_{0}^{15}\left(2-\frac{2}{15}x\right)\,dx=15.
Portanto a área da região R (que é a área sob f em [0,15]) é 15.

Passo 6

Verificação rápida calculando a integral diretamente (método alternativo mais direto, mas que confirma o resultado das somas de Riemann):
Antiderivada de f(x)=2-\frac{2}{15}x é
F(x)=2x-\frac{2}{15}\cdot\frac{x^2}{2}=2x-\frac{1}{15}x^2.
Avalio de 0 a 15:
F(15)-F(0)=\left(2\cdot15-\frac{1}{15}\cdot15^2\right)-0=30-15=15.
Também confere com a fórmula geométrica da área de um triângulo:
\text{area}=\frac{\text{base}\times\text{altura}}{2}=\frac{15\cdot2}{2}=15.

Resposta

15

Exercícios relacionados