Use integrais de Riemann para calcular a área das regiões
dadas abaixo:
é um triângulo retângulo de base 15 e altura 2
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área da região
, onde
é um triângulo retângulo com base
e altura
.
Informações dadas:
- Base do triângulo:
. - Altura do triângulo:
. - Objetivo: calcular a área usando integrais de Riemann (ou seja, interpretar a área como integral definida e obtê-la como limite de somas de Riemann).
Passo 2
Escolher uma posição conveniente para aplicar integrais. Coloco a base do triângulo ao longo do eixo
, com o vértice direito em
e o vértice superior sobre o eixo
em
. Assim os vértices relevantes são:
-
(altura máxima), -
(extremidade da base), -
(origem, extremo da base).
A semirreta superior do triângulo é uma reta decrescente que passa por
e
. Vamos descrever essa reta por uma função
para
.
Calcular a inclinação (coeficiente angular) da reta:
O termo independente (intercepto) é
(pois
). Portanto a função da reta é
Observação importante: como
em
, a área do triângulo é igual à integral definida
.
Passo 3
Definir a soma de Riemann. Particiono o intervalo
em
subintervalos iguais de comprimento
Escolho pontos de amostragem como os extremos direitos de cada subintervalo:
A soma de Riemann correspondente (soma direita) é
Substituo
:
Logo
Passo 4
Calcular a soma
passo a passo.
Escrevo:
Avalio as somas conhecidas:
Substituindo:
Simplificando:
Aqui dei um leve desvio técnico: usei soma direita, mas qualquer escolha regular de pontos leva ao mesmo limite quando
.
Passo 5
Agora tomo o limite quando o número de partições cresce:
Pelo conceito de integral de Riemann, esse limite é precisamente a integral
Portanto a área da região
(que é a área sob
em
) é
.
Passo 6
Verificação rápida calculando a integral diretamente (método alternativo mais direto, mas que confirma o resultado das somas de Riemann):
Antiderivada de
é
Avalio de
a
:
Também confere com a fórmula geométrica da área de um triângulo: