Use integrais de Riemann para calcular a área das regiões
dadas abaixo:
está compreendida entre o eixo
e o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região
que está compreendida entre o eixo
e o gráfico da função
no intervalo
. Informações dadas:
- A função é
. - O intervalo considerado é
. - Os pontos finais do intervalo satisfazem
e . - A região
é a parte do plano limitada pelo gráfico de , pelo eixo e pelas retas verticais e .
Passo 2
O que significa “área da região entre o eixo
e o gráfico” usando integrais de Riemann? Vou explicar de forma simples e concreta.
-
Intuitivamente, para encontrar área sob o gráfico numa faixa
dividimos o intervalo em fatias estreitas, aproximamos a área de cada fatia por um retângulo e somamos tudo. Esse somatório, quando as fatias ficam infinitamente finas, é a integral de Riemann. -
Se a função
for não-negativa em (ou seja ali), a área entre o gráfico e o eixo é
Exemplo simples: a área sob
em
é
.
- Se a função for não-positiva em
(ou seja ), a integral definida dá um valor negativo igual à área com sinal. Então a área geométrica (sempre positiva) é o negativo dessa integral:
- Em geral, para qualquer função
, a área entre o gráfico e o eixo é . No caso do exercício, em .
Passo 3
Agora vamos ver o sinal de
no intervalo
e decidir como aplicar a regra anterior.
-
Conhecimento trigonométrico básico: para o seno, entre
e os valores de são não-positivos (em particular , , ). Logo, em todo o intervalo fechado vale . -
Pelo que vimos no passo anterior, quando a função é não-positiva, a área é
Passo 4
Calcular a integral
passo a passo.
-
Antiderivada de
: uma primitiva de é , porque . -
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
- Calcular as cossenos conhecidas:
e . Substituindo:
Passo 5
Concluir a área usando o resultado da integral.
- Obtivemos
. Como no intervalo, a área geométrica é o negativo desse valor:
Dica de prova: quando a função muda de sinal dentro do intervalo, é preciso dividir o intervalo em subintervalos onde o sinal é constante e somar áreas (por exemplo com
). Aqui isso não foi necessário porque os zeros estão exatamente nas extremidades e o sinal é constante no interior.