Use integrais de Riemann para calcular a área das regiões R dadas abaixo:
R está compreendida entre o eixo x e o gráfico de f(x)=\operatorname{sen} x, \operatorname{com} \pi \leq x \leq 2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede a área da região R que está compreendida entre o eixo x e o gráfico da função f(x)=\sin x no intervalo \pi\le x\le 2\pi. Informações dadas:
  • A função é f(x)=\sin x.
  • O intervalo considerado é \pi\le x\le 2\pi.
  • Os pontos finais do intervalo satisfazem \sin\pi=0 e \sin(2\pi)=0.
  • A região R é a parte do plano limitada pelo gráfico de y=\sin x, pelo eixo x e pelas retas verticais x=\pi e x=2\pi.

Passo 2

O que significa “área da região entre o eixo x e o gráfico” usando integrais de Riemann? Vou explicar de forma simples e concreta.
  • Intuitivamente, para encontrar área sob o gráfico numa faixa [a,b] dividimos o intervalo em fatias estreitas, aproximamos a área de cada fatia por um retângulo e somamos tudo. Esse somatório, quando as fatias ficam infinitamente finas, é a integral de Riemann.
  • Se a função g(x) for não-negativa em [a,b] (ou seja g(x)\ge 0 ali), a área entre o gráfico y=g(x) e o eixo x é
\int_{a}^{b} g(x)\,dx.
Exemplo simples: a área sob g(x)=x em [0,1] é \int_{0}^{1} x\,dx=\tfrac{1}{2}.
  • Se a função for não-positiva em [a,b] (ou seja g(x)\le 0), a integral definida \int_{a}^{b} g(x)\,dx dá um valor negativo igual à área com sinal. Então a área geométrica (sempre positiva) é o negativo dessa integral:
\text{área}=\int_{a}^{b} |g(x)|\,dx = -\int_{a}^{b} g(x)\,dx \quad\text{quando } g(x)\le 0\text{ em }[a,b].á
  • Em geral, para qualquer função g, a área entre o gráfico e o eixo x é \int_{a}^{b} |g(x)|\,dx. No caso do exercício, g(x)=\sin x em [ \pi,2\pi].

Passo 3

Agora vamos ver o sinal de \sin x no intervalo \pi\le x\le 2\pi e decidir como aplicar a regra anterior.
  • Conhecimento trigonométrico básico: para o seno, entre \pi e 2\pi os valores de \sin x são não-positivos (em particular \sin\pi=0, \sin(3\pi/2)=-1, \sin(2\pi)=0). Logo, em todo o intervalo fechado [\pi,2\pi] vale \sin x\le 0.
  • Pelo que vimos no passo anterior, quando a função é não-positiva, a área é
\text{área} = -\int_{\pi}^{2\pi} \sin x\,dx.á

Passo 4

Calcular a integral \int_{\pi}^{2\pi} \sin x\,dx passo a passo.
  • Antiderivada de \sin x: uma primitiva de \sin x é -\cos x, porque \dfrac{d}{dx}(-\cos x)=\sin x.
  • Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{\pi}^{2\pi} \sin x\,dx = \bigl[-\cos x\bigr]_{\pi}^{2\pi} = -\cos(2\pi) - \bigl(-\cos(\pi)\bigr).
  • Calcular as cossenos conhecidas:
    \cos(2\pi)=1 e \cos(\pi)=-1. Substituindo:
\int_{\pi}^{2\pi} \sin x\,dx = -1 - \bigl(-(-1)\bigr) = -1 - (+1) = -2.

Passo 5

Concluir a área usando o resultado da integral.
  • Obtivemos \int_{\pi}^{2\pi} \sin x\,dx = -2. Como \sin x\le 0 no intervalo, a área geométrica é o negativo desse valor:
\text{área} = -\int_{\pi}^{2\pi} \sin x\,dx = -(-2)=2.á
Dica de prova: quando a função muda de sinal dentro do intervalo, é preciso dividir o intervalo em subintervalos onde o sinal é constante e somar áreas (por exemplo com |\sin x|). Aqui isso não foi necessário porque os zeros estão exatamente nas extremidades e o sinal é constante no interior.

Resposta

2

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